この問題は、正の実数 $a$ と $b$ （ただし $a \neq 1$, $b \neq 1$）に対して、$\log_a b$ と $\log_b a$ の大小関係を調べるものです。特に、与えられた考察に基づいて、$t = \log_a b$ とおき、$t > \frac{1}{t}$ を満たす $t$ の範囲を求め、さらに $\log_b b > \log_b a$ を満たす $b$ の範囲を $a > 1$ の場合と $0 < a < 1$ の場合に分けて求める問題です。

1. 問題の内容

この問題は、正の実数 $a$ と $b$ （ただし $a \neq 1$, $b \neq 1$）に対して、$\log_a b$ と $\log_b a$ の大小関係を調べるものです。特に、与えられた考察に基づいて、$t = \log_a b$ とおき、$t > \frac{1}{t}$ を満たす $t$ の範囲を求め、さらに $\log_b b > \log_b a$ を満たす $b$ の範囲を $a > 1$ の場合と $0 < a < 1$ の場合に分けて求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、$log_9 9 = 1$, $log_3 3 = 1$なので、$log_9 9 > log_3 3$は成り立ちます。次に、$log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{2} = x$とおくと$(\frac{1}{4})^x=\frac{3}{2}$、$log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} = 1$なので、$log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{2} < log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4}$ が成り立ちます。

(2) $t = \log_a b$ とおきます。$\log_a a = 1$より、$\log_a a = \frac{1}{\log_a a}$　なので $\log_a a = 1$。また $\log_a b = \frac{1}{\log_b a} = t$ なので $\log_b a = \frac{1}{t}$

したがって、$log_a a=\frac{1}{\log_b a}$より、$1 = \frac{1}{1/t} = t$となります。式①は、$log_b a = \frac{1}{t}$となります。式②は、$log_a a = 1$となります。

①より$log_b a = \frac{1}{\log_a b}$なので、$log_b a = \frac{1}{t}$したがって$a^{1/t}=b$なので、式（エ）は④

(3) $t > \frac{1}{t}$　の範囲を考えます。

$t > 0$ ならば、$t^2 > 1$　より $t > 1$

$t < 0$ ならば、$t^2 < 1$　より $-1 < t < 0$

よって、$t$の範囲は、$t > 1$, $-1 < t < 0$となります。

不等式 $\log_b b > \log_b a$ を考えます。これは $1 > \log_b a$ と同値です。

- $a > 1$ のとき:

底 $b$ が 1 より大きい場合 ($b > 1$)、$b^1 > a$ なので $b > a$ です。

底 $b$ が 0 と 1 の間の場合 ($0 < b < 1$)、$b^1 < a$ なので $b < a$ です。したがって、$\log_b b > \log_b a$ より $b > 1$　かつ $b > a$または$0 < b < 1$　かつ $b < a$の範囲になります。

$a > 1$なので、$b > a$なら$b > 1$は成り立ち、$0<b<1$のとき$a > b$も成り立つので$b > a$ または $0 < b < 1$が成り立ちます。$a>1$なので、$b>a$、したがってオは@$0<b<1, a<b$

- $0 < a < 1$ のとき:

底 $b$ が 1 より大きい場合 ($b > 1$)、$b^1 > a$ なので $b > a$ です。したがって、$b>1$のとき必ず$b>a$となる。

底 $b$ が 0 と 1 の間の場合 ($0 < b < 1$)、$b^1 < a$ なので $b < a$ です。$0 < a < 1$ なので$b < a$なら$0 < b < 1$は成り立つ。

よって$b>1$または$b < a$　したがってカは②$a<b<1, 1<b$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 3/2

ウ: $\log_b a = \frac{1}{t}$

エ: $t^a = b$

オ: @ $0 < b < 1, a < b$

カ: ② $a < b < 1, 1 < b$

キ: 0