与えられた3次式 $8x^3 - 6x^2 + 3x - 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $8x^3 - 6x^2 + 3x - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は、$(ax - b)^3$ の形に因数分解できる可能性があります。$(ax - b)^3$ を展開すると、

$a^3 x^3 - 3a^2bx^2 + 3ab^2x - b^3$ となります。

与えられた式と比較すると、

$a^3 = 8$、$-3a^2b = -6$、$3ab^2 = 3$、$-b^3 = -1$

となります。

$a^3 = 8$ より、$a = 2$ が得られます。

$-b^3 = -1$ より、$b = 1$ が得られます。

得られた $a = 2$ と $b = 1$ を用いて、残りの式が成り立つか確認します。

$-3a^2b = -3(2^2)(1) = -12 \neq -6$ ですが、

$3ab^2 = 3(2)(1^2) = 6 \neq 3$ です。

与式は $(2x - 1)^3$ の形ではありません。

ここで、$8x^3 - 6x^2 + 3x - 1 = (2x)^3 - 3(2x)^2(\frac{1}{2}) + 3(2x)(\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^3 + 3x - 3x/2 - 1 + 1/8$

$= (2x-\frac{1}{2})^3 + \frac{3x}{2} - \frac{7}{8}$

これはうまくいきません。

ここで、与えられた式を $(ax + b)(cx^2 + dx + e)$ の形に因数分解することを考えます。

$8x^3 - 6x^2 + 3x - 1$ を見ると、$(2x-1)$ が因子になりそうです。

実際に割り算を実行してみましょう。

$\frac{8x^3 - 6x^2 + 3x - 1}{2x - 1} = 4x^2 - x + 1$

したがって、

$8x^3 - 6x^2 + 3x - 1 = (2x - 1)(4x^2 - x + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x - 1)(4x^2 - x + 1)$