与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての二次式と見て整理します。

$2x^2 + (5y+4)x + (2y^2 - y - 6)$

次に、$2y^2 - y - 6$ を因数分解します。

$2y^2 - y - 6 = (2y+3)(y-2)$

したがって、与式は

$2x^2 + (5y+4)x + (2y+3)(y-2)$

となります。これを$(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形に因数分解することを考えます。

$2x^2$ の項があることから、$ax$ と $dx$ の係数は $2$ と $1$ になることが予想できます。

また、$(2y+3)(y-2)$ の項があることから、$by+c$ と $ey+f$ は、$2y+3$ と $y-2$ に近い形になることが予想できます。

ここで、

$(2x+y+a)(x+2y+b)$

とおいて展開すると、

$2x^2 + 5xy + 2y^2 + (4+b)x + (a+2)y + ab$

となります。与式と比較すると、

$4+b = 4$ より $b=0$

$a+2 = -1$ より $a=-3$

$ab = -6$ より $-3 \times 0 = 0 \neq -6$

となるため、この形では因数分解できません。

次に、定数項に着目して、

$(2x+y+a)(x+2y+b)$

を、

$(2x+y+c)(x+2y+d)$

と変更して展開した場合、

$2x^2 + 4xy + xy + 2y^2 + 2xd + xc + yd + 2yc + cd$

$= 2x^2 + 5xy + 2y^2 + (2d+c)x + (d+2c)y + cd$

となります。与式と比較すると、

$2d+c = 4$

$d+2c = -1$

$cd = -6$

この連立方程式を解きます。

$2(2d+c) - (d+2c) = 2 \times 4 - (-1)$

$4d + 2c - d - 2c = 8 + 1$

$3d = 9$

$d = 3$

$2d+c = 4$ より

$2(3)+c = 4$

$6+c = 4$

$c = -2$

$cd = (3)(-2) = -6$ となり、条件を満たします。

したがって、与式は

$(2x+y-2)(x+2y+3)$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(2x+y-2)(x+2y+3)$