$x = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ (3) $x^4 - \frac{1}{x^4}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

(3) $x^4 - \frac{1}{x^4}$

2. 解き方の手順

まず、$x = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ から $\frac{1}{x}$ を求める。

$\frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{5}+1} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{5-1} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

次に、$x + \frac{1}{x}$ と $x - \frac{1}{x}$ を計算する。

$x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}+1}{2} + \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$x - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}+1}{2} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (\sqrt{5})^2 - 2 = 5 - 2 = 3$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求める。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x})^2 + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

よって、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = (\sqrt{5})^3 - 3(\sqrt{5}) = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

(3) $x^4 - \frac{1}{x^4}$ を求める。

$x^4 - \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^2 - \frac{1}{x^2})$

$x^2 - \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x}) = \sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{5}$

よって、

$x^4 - \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^2 - \frac{1}{x^2}) = 3 \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 2\sqrt{5}$

(3) $x^4 - \frac{1}{x^4} = 3\sqrt{5}$