数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = 5$, $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = 5$, $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ を変形します。特性方程式 $x^2 - 5x + 6 = 0$ を解きます。

$x^2 - 5x + 6 = 0$

$(x-2)(x-3) = 0$

$x = 2, 3$

よって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ の形になります。

$a_1 = 1$, $a_2 = 5$ を代入して、定数 $A$ と $B$ を求めます。

$a_1 = 2A + 3B = 1$

$a_2 = 4A + 9B = 5$

この連立方程式を解きます。

1つ目の式を2倍すると $4A + 6B = 2$ となります。

2つ目の式からこの式を引くと、 $3B = 3$ となるので、$B = 1$ です。

$2A + 3B = 1$ に $B = 1$ を代入すると、$2A + 3 = 1$ より、$2A = -2$ なので、$A = -1$ です。

したがって、$a_n = -2^n + 3^n$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3^n - 2^n$