実数 $a$ に対して、$A = \frac{a + \sqrt{-3}}{\sqrt{-3}\sqrt{2} + \sqrt{-2}}$ が実数となるような $a$ の値を求め、そのときの $A$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、$A = \frac{a + \sqrt{-3}}{\sqrt{-3}\sqrt{2} + \sqrt{-2}}$ が実数となるような $a$ の値を求め、そのときの $A$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の式を整理します。

$\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$ 、$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$ なので、

$A = \frac{a + \sqrt{3}i}{\sqrt{3}i\sqrt{2} + \sqrt{2}i} = \frac{a + \sqrt{3}i}{\sqrt{6}i + \sqrt{2}i} = \frac{a + \sqrt{3}i}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})i}$

$A$ が実数となるためには、分母の $i$ を解消する必要があります。そのため、分母と分子に $-i$ をかけます。

$A = \frac{(a + \sqrt{3}i)(-i)}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})i(-i)} = \frac{-ai - \sqrt{3}i^2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(-i^2)} = \frac{-ai + \sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-ai}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

$A$ が実数であるためには、分子の虚部（$i$の係数）が0でなければなりません。つまり $-a = 0$ となる必要があります。

したがって、$a = 0$ です。

$a=0$ のとき、

$A = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{18}-\sqrt{6}}{6-2} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$a = 0$

$A = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

ア=0, イ=0

ウ=3√2 - √6

エ=4

$A = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$