$a$を定数とする方程式$|2x-3|=5-a$について、以下の問いに答えます。 (1) $x=-4$が解であるときの$a$の値を求め、$a$の値を用いて方程式を解きます。 (2) 方程式が実数解を持たない、$1$つの解を持つ、または$2$つの異なる解を持つときの$a$の条件と解を求めます。 (3) 方程式が$2$つの異なる解を持ち、大きい方の解が不等式$|x+1| \le 6$を満たすときの$a$の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$a$を定数とする方程式$|2x-3|=5-a$について、以下の問いに答えます。

(1) $x=-4$が解であるときの$a$の値を求め、$a$の値を用いて方程式を解きます。

(2) 方程式が実数解を持たない、$1$つの解を持つ、または$2$つの異なる解を持つときの$a$の条件と解を求めます。

(3) 方程式が$2$つの異なる解を持ち、大きい方の解が不等式$|x+1| \le 6$を満たすときの$a$の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x=-4$を方程式に代入して$a$を求めます。

$|2(-4)-3|=5-a$

$|-8-3|=5-a$

$11=5-a$

$a = 5-11 = -6$

したがって、$a=-6$

$a=-6$のときの方程式は、$|2x-3|=5-(-6)=11$となります。

$2x-3=11$または$2x-3=-11$

$2x=14$または$2x=-8$

$x=7$または$x=-4$

よって、$x=-4$と$x=7$が解となります。

(2) 絶対値の中身が正または負の場合を考えます。

$2x-3=5-a$または$2x-3=-(5-a)$

$2x=8-a$または$2x=3-5+a=-2+a$

$x=\frac{8-a}{2}$または$x=\frac{a-2}{2}$

方程式が解を持たない条件は、$5-a<0$、つまり$a>5$のときです。

方程式が$1$つの解を持つ条件は、$a=5$のときです。

$x=\frac{8-5}{2}=\frac{3}{2}$または$x=\frac{5-2}{2}=\frac{3}{2}$

$a<5$のとき、方程式は$2$つの異なる解を持ちます。

$x=\frac{8-a}{2}$と$x=\frac{a-2}{2}$

(3) $a<5$のとき、$x=\frac{8-a}{2}$と$x=\frac{a-2}{2}$の大小関係を調べます。

$\frac{8-a}{2}-\frac{a-2}{2}=\frac{8-a-a+2}{2}=\frac{10-2a}{2}=5-a$

$a<5$なので、$5-a>0$、したがって$\frac{8-a}{2}>\frac{a-2}{2}$

大きい方の解は$x=\frac{8-a}{2}$なので、これが$|x+1|\le 6$を満たす条件は、$-6 \le x+1 \le 6$、つまり$-7 \le x \le 5$

$-7 \le \frac{8-a}{2} \le 5$

$-14 \le 8-a \le 10$

$-22 \le -a \le 2$

$-2 \le a \le 22$

$a<5$の条件と合わせて、$-2 \le a < 5$となります。

3. 最終的な答え

(1) アイ: -6, ウ: 7

(2) エ: 5, オ: 3, カ: 2, キ: 2, ク: 2, ケ: 8, コ: -2, サ: 2

(3) シス: -2, セ: 5