$a, b$を有理数とするとき、$\sqrt{3}$が無理数であることを用いて、$(a+2\sqrt{3})(b-\sqrt{3})=3\sqrt{3}-4$ が成り立つような$a, b$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a, b$を有理数とするとき、$\sqrt{3}$が無理数であることを用いて、$(a+2\sqrt{3})(b-\sqrt{3})=3\sqrt{3}-4$ が成り立つような$a, b$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$(a+2\sqrt{3})(b-\sqrt{3})=ab - a\sqrt{3} + 2b\sqrt{3} - 2(\sqrt{3})^2 = ab - a\sqrt{3} + 2b\sqrt{3} - 6 = ab - 6 + (2b-a)\sqrt{3}$

この式が$3\sqrt{3} - 4$と等しくなるためには、

$ab-6 = -4$

$2b-a = 3$

という2つの式が成り立つ必要があります。

最初の式から、$ab = 2$となります。

2番目の式から、$a = 2b-3$となります。

これを最初の式に代入すると、 $(2b-3)b = 2$ となります。

整理すると、$2b^2 - 3b - 2 = 0$となります。

この2次方程式を解くと、$(2b+1)(b-2)=0$ より、$b = 2$ または $b = -\frac{1}{2}$となります。

$b = 2$のとき、$a = 2(2) - 3 = 4-3 = 1$

$b = -\frac{1}{2}$のとき、$a = 2(-\frac{1}{2}) - 3 = -1-3 = -4$

したがって、$(a, b) = (1, 2)$ または $(a, b) = (-4, -\frac{1}{2})$となります。

3. 最終的な答え

(a, b) = (1, 2) または (-4, -1/2)