$a, b, c$ を実数の定数とする。$x$ の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ (1) があり、$x = 2$ を解にもっている。 (1) $c = \text{アイ}a - \text{ウ}b - \text{エ}$ と表されるので、方程式(1)は $(x - \text{オ}) \{x^2 + (a + \text{カ}) x + \text{キ}a - b + \text{ク}\} = 0$ と変形できる。 方程式(1)が $x = 1 + i$ を解にもつとき、$a = \text{ケコ}, b = \text{サ}$ である。 また、方程式(1)が純虚数を解にもつ条件は、$a = \text{シス}, b > \text{セ}$ である。 (2) $b = -3a - 6$ とする。方程式(1)が2重解をもつとき、$a = \text{ソタ}$ である。 方程式(1)が虚数解をもたない条件は、$a \leq \text{チツ}, \text{テト} \leq a$ である。 また、$a \leq \text{チツ}, \text{ラ} \leq a$ のとき、方程式(1)が0以下の解をもたない条件は、$a \geq \text{ナ}$ である。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$a, b, c$ を実数の定数とする。$x$ の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ (1) があり、$x = 2$ を解にもっている。

(1) $c = \text{アイ}a - \text{ウ}b - \text{エ}$ と表されるので、方程式(1)は $(x - \text{オ}) \{x^2 + (a + \text{カ}) x + \text{キ}a - b + \text{ク}\} = 0$ と変形できる。

方程式(1)が $x = 1 + i$ を解にもつとき、$a = \text{ケコ}, b = \text{サ}$ である。

また、方程式(1)が純虚数を解にもつ条件は、$a = \text{シス}, b > \text{セ}$ である。

(2) $b = -3a - 6$ とする。方程式(1)が2重解をもつとき、$a = \text{ソタ}$ である。

方程式(1)が虚数解をもたない条件は、$a \leq \text{チツ}, \text{テト} \leq a$ である。

また、$a \leq \text{チツ}, \text{ラ} \leq a$ のとき、方程式(1)が0以下の解をもたない条件は、$a \geq \text{ナ}$ である。

2. 解き方の手順

(1) $x=2$ が方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の解なので、

$2^3 + a(2^2) + b(2) + c = 0$

$8 + 4a + 2b + c = 0$

$c = -4a - 2b - 8$

したがって、アイ = 4, ウ = 2, エ =

8. 方程式(1)は、$x^3 + ax^2 + bx - 4a - 2b - 8 = 0$

$x=2$ を解に持つので、$x-2$ で因数分解できる。

$x^3 + ax^2 + bx - 4a - 2b - 8 = (x-2)(x^2 + (a+2)x + 2a+b+4)$

したがって、オ = 2, カ = 2, キ = 2, ク =

4. 方程式は、$(x-2)(x^2 + (a+2)x + 2a+b+4) = 0$

方程式(1)が $x = 1+i$ を解にもつとき、$x=1-i$ も解にもつ。

$x=2, x=1+i, x=1-i$ が解。

解と係数の関係より

$(1+i)+(1-i)+2 = -a$

$4 = -a$

$a = -4$

$(1+i)(1-i) + 2(1+i) + 2(1-i) = b$

$2 + 2 + 2 = b$

$b = 6$

したがって、ケコ = -4, サ =

6.

方程式(1)が純虚数を解にもつとき、純虚数を $xi$ とすると、

$(xi)^3 + a(xi)^2 + b(xi) + c = 0$

$-x^3i - ax^2 + bxi -4a - 2b - 8 = 0$

$(-ax^2 - 4a - 2b - 8) + (-x^3 + bx)i = 0$

$-ax^2 - 4a - 2b - 8 = 0$ かつ $-x^3 + bx = 0$

$x(b-x^2) = 0$ より $x=0$ または $x^2 = b$

$x=0$ のとき、$-4a - 2b - 8 = 0$ より、$2a+b+4=0$

$x^2=b$ のとき、$-ab - 4a - 2b - 8 = 0$

$x$ が純虚数なので、$b>0$ かつ $-a b - 4a - 2b - 8 = 0$

$b = -3a - 6$ のとき、$b > 0$ より $-3a-6>0$, $a<-2$

したがって、シス = -2, セ =

0.

(2) $b = -3a - 6$ とする。

方程式(1)は、$(x-2)(x^2 + (a+2)x + 2a + (-3a-6) + 4) = 0$

$(x-2)(x^2 + (a+2)x - a - 2) = 0$

$(x-2)(x^2 + (a+2)x - (a+2)) = 0$

$(x-2)(x-1)(x+a+2) = 0$

$x = 2, 1, -a-2$

2重解をもつとき、$2=1$ とならないので、$2 = -a-2$ または $1 = -a-2$

$a = -4$ または $a = -3$

$a = -4$ のとき、$x = 2, 1, 2$

$a = -3$ のとき、$x = 2, 1, 1$

したがって、$a = -3, -4$. ソタ = -3

方程式(1)が虚数解をもたない条件は、$x = 2, 1, -a-2$ がすべて実数解なので、$a$ に条件はない。

$a \leq \text{チツ}, \text{テト} \leq a$ は $a \leq \infty, -\infty \leq a$

したがって、方程式(1)が虚数解をもたない条件は、実数全体。

$a \leq -3, -4 \leq a$ のとき、方程式(1)が0以下の解をもたない条件は、$x = 2, 1, -a-2$ がすべて正であればよい。

$-a - 2 > 0$

$-a > 2$

$a < -2$

$a \le -4$ なので $a \geq -4$. ナ = -4

3. 最終的な答え

アイ = 4, ウ = 2, エ = 8

オ = 2, カ = 2, キ = 2, ク = 4

ケコ = -4, サ = 6

シス = -2, セ = 0

ソタ = -3

チツ = 記載なし, テト = 記載なし

ナ = -4