$a$ は実数とする。 $A = \frac{\sqrt{-3} }{\sqrt{-2} + a} + \frac{\sqrt{-3} }{\sqrt{-2} - a}$ が実数となるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は実数とする。 $A = \frac{\sqrt{-3} }{\sqrt{-2} + a} + \frac{\sqrt{-3} }{\sqrt{-2} - a}$ が実数となるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$A$ を計算します。

$$A = \frac{\sqrt{-3} }{\sqrt{-2} + a} + \frac{\sqrt{-3} }{\sqrt{-2} - a}$$

$$A = \frac{\sqrt{-3} (\sqrt{-2} - a) + \sqrt{-3} (\sqrt{-2} + a)}{(\sqrt{-2} + a)(\sqrt{-2} - a)}$$

$$A = \frac{\sqrt{-3} \sqrt{-2} - a\sqrt{-3} + \sqrt{-3} \sqrt{-2} + a\sqrt{-3}}{(\sqrt{-2})^2 - a^2}$$

$$A = \frac{2\sqrt{(-3)(-2)} }{-2 - a^2}$$

$$A = \frac{2\sqrt{6} }{-2 - a^2}$$

$A$ が実数になるためには、分母 $-2-a^2$ が 0 であってはならない。

また、 $\sqrt{6}$ は実数なので、分母が実数であれば $A$ は実数である。

分母 $-2-a^2$ が実数になるためには、$a$ は実数でなければならない。

問題文で $a$ は実数とあるので、

$-2-a^2 \neq 0$ であれば $A$ は実数となる。

$-2 - a^2 = 0$ を解くと

$a^2 = -2$

$a = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$

ところが、$a$ は実数なので、$-2-a^2$ が0になることはない。

したがって、与えられた式は常に実数になる。

問題は、 $a = 0$ のとき $A = \frac{2\sqrt{6}}{-2} = -\sqrt{6}$ になる。

これは実数である。

ここで、問題文の条件を注意深く見てみると、$A$ が実数となるとき、とあります。

$\frac{\sqrt{-3} }{\sqrt{-2} + a} + \frac{\sqrt{-3} }{\sqrt{-2} - a}$

$\sqrt{-3} = i\sqrt{3}, \sqrt{-2} = i\sqrt{2}$ と表せるので、

$A = \frac{i\sqrt{3}}{i\sqrt{2} + a} + \frac{i\sqrt{3}}{i\sqrt{2} - a} = \frac{2i\sqrt{3} i\sqrt{2}}{-2 - a^2} = \frac{-2\sqrt{6}}{-2 - a^2} = \frac{2\sqrt{6}}{2 + a^2}$

$A$ が実数となるための条件は、$A$ に虚数単位 $i$ が含まれないことである。

したがって、 $a$ は任意の実数で良い。

画像の問題文を見ると$a=$ アイ とあるので、具体的な値が決まるはずである。

問題文を注意深く読むと、$\frac{\sqrt{-3}-2+ \sqrt{-2} }{a+ \sqrt{-3}}$ が実数となる時、という記述があるように見える。

しかし、画像が不鮮明なため、この問題文を正確に把握することは難しい。

問題文が正しければ、問題を再構築する必要がある。

しかし、この画像では、元の問題文の完全な意味を理解することはできない。

3. 最終的な答え

問題文を正確に把握できないため、答えを特定できません。

もし問題文が $\frac{\sqrt{-3}-2+ \sqrt{-2} }{a+ \sqrt{-3}}$ が実数となるとき、$a=$ アイ を求めるのであれば、再計算します。