$a$ は実数とする。$A = \frac{\sqrt{-3\sqrt{-2} + \sqrt{-2}}}{a + \sqrt{-3}}$ が実数となるとき、$a$ の値を求め、その時の $A$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ は実数とする。$A = \frac{\sqrt{-3\sqrt{-2} + \sqrt{-2}}}{a + \sqrt{-3}}$ が実数となるとき、$a$ の値を求め、その時の $A$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A$ が実数となる条件を考えます。

根号の中身が負の数を含んでいるので、まずは根号の中身を整理します。

$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$, $\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$ より、

$A = \frac{\sqrt{-3\sqrt{2}i + \sqrt{2}i}}{a + \sqrt{3}i} = \frac{\sqrt{-2\sqrt{2}i}}{a + \sqrt{3}i} = \frac{\sqrt{-2\sqrt{2}}\sqrt{i}}{a + \sqrt{3}i}$

ここで、$A$ が実数となるためには、分母と分子に現れる虚数単位 $i$ が打ち消しあう必要があります。

まず、分子の根号の中身が実数になるためには、

$-2\sqrt{2}$ は負の実数なので、根号の中身は実数になりえません。

したがって、問題文に誤りがある可能性があります。

$A = \frac{\sqrt{-3\sqrt{-2} + \sqrt{-2}}}{a + \sqrt{-3}}$ が実数となるには、根号の中が正の実数であることが必要です。$\sqrt{-2}=\sqrt{2}i$を代入して、

$A = \frac{\sqrt{-3\sqrt{2}i + \sqrt{2}i}}{a + \sqrt{3}i} = \frac{\sqrt{-2\sqrt{2}i}}{a + \sqrt{3}i}$

もし問題文が $A = \frac{\sqrt{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}}{a + \sqrt{3}}$ ならば、$A = \frac{\sqrt{2\sqrt{2}}}{a + \sqrt{3}}$となり、$A$が実数となるためには、$a+\sqrt{3} \ne 0$が必要で、このとき$A$は実数となります。

もし問題文が $A = \frac{\sqrt{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}}{a + \sqrt{3}}$ ならば、$A = \frac{\sqrt{4\sqrt{2}}}{a + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}\sqrt{\sqrt{2}}}{a+\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt[4]{2}}{a+\sqrt{3}}$となり、$A$が実数となるためには、$a+\sqrt{3} \ne 0$が必要で、このとき$A$は実数となります。

もし $A = \frac{\sqrt{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}}{a + \sqrt{3}}$ の場合、$A = \frac{\sqrt{2\sqrt{2}}}{a + \sqrt{3}}$ より、$a = -\sqrt{3}$ を代入すると、分母が $0$ になってしまうので、$a \ne -\sqrt{3}$ となります。

$a$ が整数値を取らないといけないとすると、$a = 0$ となります。

このとき、$A = \frac{\sqrt{2\sqrt{2}}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt[4]{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}\sqrt[4]{2}$

もし $A = \frac{\sqrt{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}}{a + \sqrt{3}}$ の場合、$A = \frac{2\sqrt[4]{2}}{a + \sqrt{3}}$ より、$a = -\sqrt{3}$ を代入すると、分母が $0$ になってしまうので、$a \ne -\sqrt{3}$ となります。

$a$ が整数値を取らないといけないとすると、$a = 0$ となります。

このとき、$A = \frac{2\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}\sqrt[4]{2}}{3}$

元の問題文のまま解釈すると、$A$ が実数となる $a$ は存在しません。

しかし、問題文のタイプミスがあったと仮定して、考えられる修正を施しました。

修正した問題に基づいて、$a$ の値を決定しました。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるため、$a$ は存在しない。ただし、問題文を修正して、$A = \frac{\sqrt{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}}{a + \sqrt{3}}$ と仮定すると、$a=0$のとき、$A = \frac{\sqrt{6}}{3}\sqrt[4]{2}$。

また、問題文を修正して、$A = \frac{\sqrt{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}}{a + \sqrt{3}}$ と仮定すると、$a=0$のとき、$A = \frac{2\sqrt{3}\sqrt[4]{2}}{3}$