与えられた式 $\frac{3}{x^2-x-12} - \frac{5}{x^2+2x-24}$ を計算し、最も簡単な形にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{3}{x^2-x-12} - \frac{5}{x^2+2x-24}$ を計算し、最も簡単な形にしてください。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分母を因数分解します。

$x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$

$x^2+2x-24 = (x+6)(x-4)$

次に、与えられた式を書き換えます。

$\frac{3}{(x-4)(x+3)} - \frac{5}{(x+6)(x-4)}$

通分するために、それぞれの分母に足りない因子を掛けます。

$\frac{3(x+6)}{(x-4)(x+3)(x+6)} - \frac{5(x+3)}{(x+6)(x-4)(x+3)}$

共通の分母を持つように変形したので、分子をまとめます。

$\frac{3(x+6) - 5(x+3)}{(x-4)(x+3)(x+6)}$

分子を展開します。

$\frac{3x+18-5x-15}{(x-4)(x+3)(x+6)}$

分子を整理します。

$\frac{-2x+3}{(x-4)(x+3)(x+6)}$

3. 最終的な答え

$\frac{-2x+3}{(x-4)(x+3)(x+6)}$