複素数 $\alpha$ は虚部が正で、$|\alpha|=2$ を満たし、$\alpha + \overline{\alpha} = 2$ を満たす。 (1) $\alpha$ を $x+yi$ ($x, y$ は実数) の形で表す。 (2) 複素数 $z$ は、方程式 $|z-8|=2|z-2|$ を満たす。複素数平面上で点 $z$ の全体が表す図形を図示する。 (3) (2)で図示した図形上の点を $P$ とする。また、$\alpha$ を表す点を $A$、$\arg{\beta} = \arg{\alpha}$ を満たす複素数 $\beta$ を表す点を $Q$ とする。三角形 $APQ$ が正三角形であるとき、$\beta$ を求める。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ は虚部が正で、$|\alpha|=2$ を満たし、$\alpha + \overline{\alpha} = 2$ を満たす。

(1) $\alpha$ を $x+yi$ ($x, y$ は実数) の形で表す。

(2) 複素数 $z$ は、方程式 $|z-8|=2|z-2|$ を満たす。複素数平面上で点 $z$ の全体が表す図形を図示する。

(3) (2)で図示した図形上の点を $P$ とする。また、$\alpha$ を表す点を $A$、$\arg{\beta} = \arg{\alpha}$ を満たす複素数 $\beta$ を表す点を $Q$ とする。三角形 $APQ$ が正三角形であるとき、$\beta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha = x+yi$ とすると、$\overline{\alpha} = x-yi$ である。$\alpha + \overline{\alpha} = 2$ より、$x+yi + x-yi = 2$ なので、$2x = 2$、よって $x=1$。

また、$|\alpha| = 2$ より、$|x+yi|^2 = x^2 + y^2 = 4$。$x=1$ を代入すると、$1 + y^2 = 4$ より、$y^2 = 3$。

$y$ は実数で $\alpha$ の虚部は正より、$y = \sqrt{3}$。

したがって、$\alpha = 1 + \sqrt{3}i$。

(2) $|z-8| = 2|z-2|$ より、$z = x+yi$ とすると、

$|x+yi - 8| = 2|x+yi - 2|$

$|(x-8) + yi| = 2|(x-2) + yi|$

$(x-8)^2 + y^2 = 4((x-2)^2 + y^2)$

$x^2 - 16x + 64 + y^2 = 4(x^2 - 4x + 4 + y^2)$

$x^2 - 16x + 64 + y^2 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2$

$0 = 3x^2 + 3y^2 - 48$

$x^2 + y^2 = 16$

これは、中心 $(0, 0)$、半径 $4$ の円である。

(3) $\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ であり、$A(1, \sqrt{3})$ を表す。$\arg{\beta} = \arg{\alpha}$ であるから、$\beta$ は $\alpha$ と同じ方向に伸びる実数倍である。

$APQ$ が正三角形であるとき、$P$ は円 $x^2 + y^2 = 16$ 上の点である。

点 $A$ を中心として点 $Q$ を $60^\circ$ 回転させた点が点 $P$ に一致する（もしくは -60°回転させた点がPに一致する）から、

$Q = s(1 + \sqrt{3}i)$ とおける。

$P = \alpha + (\beta - \alpha)(\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}})$

または

$P = \alpha + (\beta - \alpha)(\cos{-\frac{\pi}{3}} + i\sin{-\frac{\pi}{3}})$

$\alpha = 1+\sqrt{3}i$

$\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}$

$\sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos{-\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}$

$\sin{-\frac{\pi}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$P = 1+\sqrt{3}i+(s(1+\sqrt{3}i)-1-\sqrt{3}i)(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)$

または、$P = 1+\sqrt{3}i+(s(1+\sqrt{3}i)-1-\sqrt{3}i)(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)$

実部、虚部が一致するはず。

$P = 1+\sqrt{3}i + (s-1)(1+\sqrt{3}i)(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)= 1+\sqrt{3}i+(s-1)(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{3}{2})=1+\sqrt{3}i+(s-1)(-1+\sqrt{3}i)$

$P = 1+\sqrt{3}i + (s-1)(-1+\sqrt{3}i) = 1-(s-1) + i(\sqrt{3} + (s-1)\sqrt{3})$

$P = (2-s) + i(s\sqrt{3})$

$(2-s)^2+(s\sqrt{3})^2=4^2$

$4-4s+s^2+3s^2=16$

$4s^2-4s-12=0$

$s^2-s-3=0$

$s=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$

$s$ は正なので $s=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

$\beta = \frac{1+\sqrt{13}}{2}(1+\sqrt{3}i)$

または、$P=1+\sqrt{3}i + (s(1+\sqrt{3}i)-1-\sqrt{3}i)(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)= 1+\sqrt{3}i+(s-1)(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{3}{2})=1+\sqrt{3}i+(s-1)(2)=1+2s-2 + \sqrt{3}i=(2s-1)+\sqrt{3}i$

$(2s-1)^2+(\sqrt{3})^2=16$

$4s^2-4s+1+3=16$

$4s^2-4s-12=0$

$s^2-s-3=0$

$s=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$

$s$ は正なので $s=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

$\beta = \frac{1+\sqrt{13}}{2}(1+\sqrt{3}i)$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 1 + \sqrt{3}i$

(2) 中心 $(0, 0)$、半径 $4$ の円。

(3) $\beta = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}(1 + \sqrt{3}i)$