$n$ を2以上の整数とするとき、次の和 $S_n$ を求め、$n$ の分数式で表す。 $$ S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{k^2+1}{k^2-1} $$

1. 問題の内容

$n$ を2以上の整数とするとき、次の和 $S_n$ を求め、$n$ の分数式で表す。

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S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{k^2+1}{k^2-1}

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2. 解き方の手順

まず、$\frac{k^2+1}{k^2-1}$ を部分分数分解します。

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\frac{k^2+1}{k^2-1} = \frac{k^2-1+2}{k^2-1} = 1 + \frac{2}{k^2-1} = 1 + \frac{2}{(k-1)(k+1)}

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さらに $\frac{2}{(k-1)(k+1)}$ を部分分数分解します。

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\frac{2}{(k-1)(k+1)} = \frac{A}{k-1} + \frac{B}{k+1}

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$2 = A(k+1) + B(k-1)$ より、$k=1$ のとき $2 = 2A$ なので $A=1$、$k=-1$ のとき $2 = -2B$ なので $B=-1$。よって

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\frac{2}{(k-1)(k+1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}

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したがって、

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\frac{k^2+1}{k^2-1} = 1 + \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}

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$S_n$ を計算すると

\begin{align*}

S_n &= \sum_{k=2}^{n} \frac{k^2+1}{k^2-1} \\

&= \sum_{k=2}^{n} \left( 1 + \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1} \right) \\

&= \sum_{k=2}^{n} 1 + \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1} \right) \\

&= (n-1) + \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n} \right) + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) \\

&= (n-1) + \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\

&= n - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2} \\

&= n + \frac{1}{2} - \frac{2n+1}{n(n+1)} \\

&= \frac{2n^2(n+1) + n(n+1) - 2(2n+1)}{2n(n+1)} \\

&= \frac{2n^3 + 2n^2 + n^2 + n - 4n - 2}{2n(n+1)} \\

&= \frac{2n^3 + 3n^2 - 3n - 2}{2n(n+1)}

\end{align*}

3. 最終的な答え

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S_n = \frac{2n^3 + 3n^2 - 3n - 2}{2n(n+1)}

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