与えられた6つの式を因数分解します。 (1) $3x^2 + 4x + 1$ (2) $6x^2 - xy - 12y^2$ (3) $x^4 - 18x^2y^2 + y^4$ (4) $x^2 + xy + 4x - 2y^2 + 5y + 3$ (5) $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$ (6) $x^4 + 4y^4$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解します。

(1) $3x^2 + 4x + 1$

(2) $6x^2 - xy - 12y^2$

(3) $x^4 - 18x^2y^2 + y^4$

(4) $x^2 + xy + 4x - 2y^2 + 5y + 3$

(5) $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$

(6) $x^4 + 4y^4$

2. 解き方の手順

(1) $3x^2 + 4x + 1$

たすき掛けを用いて因数分解します。

$3x^2 + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1)$

(2) $6x^2 - xy - 12y^2$

たすき掛けを用いて因数分解します。

$6x^2 - xy - 12y^2 = (2x - 3y)(3x + 4y)$

(3) $x^4 - 18x^2y^2 + y^4$

平方の差を作るために、式を以下のように変形します。

$x^4 - 18x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 20x^2y^2$

$= (x^2 + y^2)^2 - (2\sqrt{5}xy)^2$

$= (x^2 + y^2 - 2\sqrt{5}xy)(x^2 + y^2 + 2\sqrt{5}xy)$

しかし、$x^4 - 18x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 20x^2y^2$ よりも

$x^4 - 18x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 20x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - (4xy)^2+ (4x^2y^2) - (20x^2y^2)= (x^2+y^2)^2 - (4x^2y^2) = (x^2+y^2)^2 - (4x^2y^2)= x^4 - 2x^2y^2+y^4$ とするとうまくいかない。

$x^4 - 18x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 20x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 20x^2y^2 = (x^2 + y^2 - 2\sqrt{5}xy)(x^2 + y^2 + 2\sqrt{5}xy)$

ではなく

$x^4 - 18x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 20x^2y^2 = (x^2-y^2)^2 - 16x^2y^2 = (x^2 - 4xy - y^2)(x^2 + 4xy - y^2) - 4y^4$

$x^4 - 18x^2y^2 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 20x^2y^2$

$x^4 - 18x^2y^2 + y^4 = (x^2-y^2)^2 -16x^2y^2$

$x^4 - 18x^2y^2 + y^4 = (x^2-8xy-y^2)(x^2+8xy-y^2)$

(4) $x^2 + xy + 4x - 2y^2 + 5y + 3$

$x$ について整理すると、

$x^2 + (y+4)x - (2y^2 - 5y - 3) = x^2 + (y+4)x - (2y+1)(y-3) = (x + 2y + 1)(x - y + 3)$

(5) $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$

展開すると、

$a(b^2 + 2bc + c^2) + b(c^2 + 2ca + a^2) + c(a^2 + 2ab + b^2) - 4abc$

$= ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + ba^2 + ca^2 + 2abc + cb^2 - 4abc$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

(6) $x^4 + 4y^4$

平方の差を作るために、式を以下のように変形します。

$x^4 + 4y^4 = x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2 = (x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2$

$= (x^2 + 2y^2 - 2xy)(x^2 + 2y^2 + 2xy)$

$= (x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(3x + 1)(x + 1)$

(2) $(2x - 3y)(3x + 4y)$

(3) $(x^2 + 4xy - y^2)(x^2 - 4xy - y^2)$

(4) $(x + 2y + 1)(x - y + 3)$

(5) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(6) $(x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)$