与えられた式 $\frac{\sqrt{5} - 3\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ を簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{5} - 3\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ を簡単にします。

2. 解き方の手順

この式を簡単にするには、分母を有理化します。分母の $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ の共役な複素数 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{5} - 3\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - 3\sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

分子を展開します：

$(\sqrt{5} - 3\sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - \sqrt{5}\sqrt{3} - 3\sqrt{3}\sqrt{5} + 3(\sqrt{3})^2 = 5 - \sqrt{15} - 3\sqrt{15} + 3(3) = 5 - 4\sqrt{15} + 9 = 14 - 4\sqrt{15}$

分母を展開します：

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

したがって、

$\frac{(\sqrt{5} - 3\sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{14 - 4\sqrt{15}}{2}$

最後に、分子の各項を2で割ります：

$\frac{14 - 4\sqrt{15}}{2} = \frac{14}{2} - \frac{4\sqrt{15}}{2} = 7 - 2\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$7 - 2\sqrt{15}$