与えられた式を簡略化する問題です。式は次の通りです。 $\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3} \div \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化する問題です。式は次の通りです。

$\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3} \div \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2}$

2. 解き方の手順

まず、割り算を掛け算に変換します。

$\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3} \times \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2}$

次に、それぞれの項を因数分解します。

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

これらの因数分解された形を元の式に代入します。

$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)} \times \frac{(a - b)(a + b)}{(a - b)^2}$

次に、共通の因子をキャンセルします。$(a-b)$ と $(a+b)$ が約分できます。

$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)} \times \frac{(a - b)(a + b)}{(a - b)(a - b)}$

$= \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a - b)(a + b)}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a - b)^2}$

$= \frac{(a^2 + ab + b^2)}{(a^2 - ab + b^2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - ab + b^2}$