$\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ を虚数単位 $i$ を用いて定義する。このとき、$\omega^2 + \omega + 1$、$(1-\omega+\omega^2)(1+\omega-\omega^2)$、$\sum_{k=0}^{2025} {}_{2025}C_k \omega^k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ を虚数単位 $i$ を用いて定義する。このとき、$\omega^2 + \omega + 1$、$(1-\omega+\omega^2)(1+\omega-\omega^2)$、$\sum_{k=0}^{2025} {}_{2025}C_k \omega^k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(h) $\omega^2 + \omega + 1$ の値を求めます。$\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ より、$2\omega = -1+\sqrt{3}i$。よって、$2\omega+1 = \sqrt{3}i$。両辺を2乗すると、$(2\omega+1)^2 = (\sqrt{3}i)^2$。展開して整理すると、$4\omega^2 + 4\omega + 1 = -3$、よって、$4\omega^2 + 4\omega + 4 = 0$。両辺を4で割ると、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$。

(i) $(1-\omega+\omega^2)(1+\omega-\omega^2)$ の値を求めます。$\omega^2+\omega+1=0$より、$\omega^2 = -\omega-1$。したがって、$1-\omega+\omega^2 = 1-\omega-\omega-1 = -2\omega$、$1+\omega-\omega^2 = 1+\omega-(-\omega-1) = 2+2\omega = -2\omega^2$。

$(1-\omega+\omega^2)(1+\omega-\omega^2) = (-2\omega)(2+2\omega) = (1-\omega+(-\omega-1))(1+\omega-(-\omega-1))=(-2\omega)(2+2\omega)=-4(\omega+\omega^2)=-4(-1)=4$。

$(1-\omega+\omega^2)(1+\omega-\omega^2) = (-2\omega)(2+2\omega) = -4(\omega + \omega^2) = -4(-1) = 4$

または、$\omega^2+\omega+1=0$より、$\omega^2 = -\omega-1$なので、$(1-\omega+\omega^2)(1+\omega-\omega^2) = (1-\omega-\omega-1)(1+\omega+\omega+1)=(-2\omega)(2+2\omega) = -4(\omega+\omega^2)=-4(-1)=4$。

(j) ${}_{2025}C_0 + {}_{2025}C_1 \omega + {}_{2025}C_2 \omega^2 + \cdots + {}_{2025}C_{2025} \omega^{2025}$ の値を求めます。二項定理より、

$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {}_n C_k x^k$

$x = \omega, n = 2025$ を代入すると、

$(1+\omega)^{2025} = \sum_{k=0}^{2025} {}_{2025}C_k \omega^k$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、 $1+\omega = -\omega^2$。

$(1+\omega)^{2025} = (-\omega^2)^{2025} = (-1)^{2025} \omega^{4050} = -\omega^{4050}$

$\omega^3 = 1$ であるから、$\omega^{4050} = (\omega^3)^{1350} = 1^{1350} = 1$。

$(1+\omega)^{2025} = -1$

3. 最終的な答え

(h) 0

(i) 4

(j) -1