$n$ は正の整数とする。$n > 3$ のとき、不等式 $n! > 2^n$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す。

1. 問題の内容

$n$ は正の整数とする。$n > 3$ のとき、不等式 $n! > 2^n$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す。

2. 解き方の手順

(1) $n=4$ のとき

左辺は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

右辺は $2^4 = 16$

したがって、$4! > 2^4$ が成り立つ。

(2) $n = k$ ($k > 3$) のとき、$k! > 2^k$ が成り立つと仮定する。

このとき、$n = k+1$ のときも不等式が成り立つことを示す。

$n = k+1$ のとき、$(k+1)! > 2^{k+1}$ が成り立つことを示す。

$(k+1)! = (k+1) \times k!$

帰納法の仮定より、$k! > 2^k$ であるから、

$(k+1)! > (k+1) \times 2^k$

ここで、$k > 3$ であるから、$k+1 > 4 > 2$ が成り立つ。

したがって、$k+1 > 2$ である。

よって、

$(k+1)! > (k+1) \times 2^k > 2 \times 2^k = 2^{k+1}$

したがって、$(k+1)! > 2^{k+1}$ が成り立つ。

(1)(2)より、数学的帰納法によって、$n > 3$ であるすべての整数 $n$ に対して、$n! > 2^n$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$n > 3$ であるすべての整数 $n$ に対して、$n! > 2^n$ が成り立つ。