与えられた問題は、以下の4つの小問から構成されています。 (1) 整式 $x^3 + 2x^2 - 17x + 3$ を $x-3$ で割ったときの商と余りを求める問題。 (2) 複素数の計算問題 $\frac{1}{3-\sqrt{7}i} + \frac{1}{3+\sqrt{7}i}$ の結果を求める問題。 (3) 三角関数の計算問題 $\sqrt{2}\sin(\frac{5}{4}\pi) + \sqrt{3}\cos(-\frac{\pi}{6})$ の結果を求める問題。 (4) ベクトルの内積を求める問題。ベクトル $\vec{a} = (1, -2, -1)$ と $\vec{b} = (-3, 4, -2)$ の内積を計算する問題。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の4つの小問から構成されています。

(1) 整式 $x^3 + 2x^2 - 17x + 3$ を $x-3$ で割ったときの商と余りを求める問題。

(2) 複素数の計算問題 $\frac{1}{3-\sqrt{7}i} + \frac{1}{3+\sqrt{7}i}$ の結果を求める問題。

(3) 三角関数の計算問題 $\sqrt{2}\sin(\frac{5}{4}\pi) + \sqrt{3}\cos(-\frac{\pi}{6})$ の結果を求める問題。

(4) ベクトルの内積を求める問題。ベクトル $\vec{a} = (1, -2, -1)$ と $\vec{b} = (-3, 4, -2)$ の内積を計算する問題。

2. 解き方の手順

(1) 整式の割り算

$x^3 + 2x^2 - 17x + 3$ を $x-3$ で割ります。筆算を実行すると、以下のようになります。

```

x^2 + 5x - 2

x - 3 | x^3 + 2x^2 - 17x + 3

x^3 - 3x^2

----------------

5x^2 - 17x

5x^2 - 15x

----------------

-2x + 3

-2x + 6

----------------

-3

```

したがって、商は $x^2 + 5x - 2$ であり、余りは $-3$ です。

(2) 複素数の計算

$\frac{1}{3-\sqrt{7}i} + \frac{1}{3+\sqrt{7}i}$ を計算します。通分すると、

$\frac{1}{3-\sqrt{7}i} + \frac{1}{3+\sqrt{7}i} = \frac{(3+\sqrt{7}i) + (3-\sqrt{7}i)}{(3-\sqrt{7}i)(3+\sqrt{7}i)} = \frac{6}{3^2 + (\sqrt{7})^2} = \frac{6}{9+7} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

(3) 三角関数の計算

$\sqrt{2}\sin(\frac{5}{4}\pi) + \sqrt{3}\cos(-\frac{\pi}{6})$ を計算します。

$\sin(\frac{5}{4}\pi) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\sqrt{2}\sin(\frac{5}{4}\pi) + \sqrt{3}\cos(-\frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

(4) ベクトルの内積の計算

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1, -2, -1) \cdot (-3, 4, -2) = (1)(-3) + (-2)(4) + (-1)(-2) = -3 - 8 + 2 = -9$

3. 最終的な答え

(1) 商: $x^2 + 5x - 2$, 余り: $-3$

(2) $\frac{3}{8}$

(3) $\frac{1}{2}$

(4) $-9$