(1) $x > 0$ のとき、$x + \frac{9}{x}$ の最小値を求めよ。 (2) $x > 0$ のとき、$x + \frac{9}{x+2}$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x > 0$ のとき、$x + \frac{9}{x}$ の最小値を求めよ。

(2) $x > 0$ のとき、$x + \frac{9}{x+2}$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x > 0$ であるから、相加平均・相乗平均の関係を利用できる。

相加平均・相乗平均の関係より、

$x + \frac{9}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$

等号成立は $x = \frac{9}{x}$ のとき、すなわち $x^2 = 9$ より、$x = 3$ （$x > 0$ より）。

したがって、$x + \frac{9}{x}$ の最小値は $6$ である。

(2) $x > 0$ であるから、$x+2 > 2$。そこで、$x+2$ を作ることを考える。

$x + \frac{9}{x+2} = (x+2) + \frac{9}{x+2} - 2$

$x+2 > 0$ であるから、相加平均・相乗平均の関係より、

$(x+2) + \frac{9}{x+2} \geq 2 \sqrt{(x+2) \cdot \frac{9}{x+2}} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$

よって、

$(x+2) + \frac{9}{x+2} - 2 \geq 6 - 2 = 4$

等号成立は $x+2 = \frac{9}{x+2}$ のとき、すなわち $(x+2)^2 = 9$ より、$x+2 = 3$ （$x+2 > 0$ より）。

したがって、$x = 1$ である。

$x + \frac{9}{x+2}$ の最小値は $4$ である。

3. 最終的な答え

(1) 最小値：$6$

(2) 最小値：$4$