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$(\frac{\sqrt{5}+2}{2})^3$ を計算します。

代数学式の計算無理数の計算展開累乗
2025/4/15

1. 問題の内容

(5+22)3(\frac{\sqrt{5}+2}{2})^3 を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子の3乗 (5+2)3(\sqrt{5}+2)^3 を計算します。
(5+2)3=(5+2)(5+2)2=(5+2)(5+45+4)=(5+2)(9+45)(\sqrt{5}+2)^3 = (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+2)^2 = (\sqrt{5}+2)(5+4\sqrt{5}+4) = (\sqrt{5}+2)(9+4\sqrt{5})
(5+2)(9+45)=95+20+18+85=175+38(\sqrt{5}+2)(9+4\sqrt{5}) = 9\sqrt{5} + 20 + 18 + 8\sqrt{5} = 17\sqrt{5} + 38
したがって、
(5+22)3=(5+2)323=175+388=38+1758(\frac{\sqrt{5}+2}{2})^3 = \frac{(\sqrt{5}+2)^3}{2^3} = \frac{17\sqrt{5}+38}{8} = \frac{38 + 17\sqrt{5}}{8}

3. 最終的な答え

38+1758\frac{38 + 17\sqrt{5}}{8}

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