(2) ① ベクトル $r = (3, 5, 2)$ を基本ベクトルを用いて書き表す。 ② ベクトル $r_1 = (a\sin\theta\cos\phi, a\sin\theta\sin\phi, a\cos\theta)$ を基本ベクトルを用いて書き表す。 (3) ベクトル $r_1$ の大きさを求める。

1. 問題の内容

(2)

① ベクトル $r = (3, 5, 2)$ を基本ベクトルを用いて書き表す。

② ベクトル $r_1 = (a\sin\theta\cos\phi, a\sin\theta\sin\phi, a\cos\theta)$ を基本ベクトルを用いて書き表す。

(3)

ベクトル $r_1$ の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(2)

① 基本ベクトルを $e_1 = (1, 0, 0)$, $e_2 = (0, 1, 0)$, $e_3 = (0, 0, 1)$ とすると、ベクトル $r = (3, 5, 2)$ は次のように表せる。

$r = 3e_1 + 5e_2 + 2e_3$

② ベクトル $r_1 = (a\sin\theta\cos\phi, a\sin\theta\sin\phi, a\cos\theta)$ は次のように表せる。

$r_1 = a\sin\theta\cos\phi e_1 + a\sin\theta\sin\phi e_2 + a\cos\theta e_3$

(3)

ベクトル $r_1$ の大きさ $|r_1|$ は、各成分の二乗和の平方根で計算できる。

$|r_1| = \sqrt{(a\sin\theta\cos\phi)^2 + (a\sin\theta\sin\phi)^2 + (a\cos\theta)^2}$

$= \sqrt{a^2\sin^2\theta\cos^2\phi + a^2\sin^2\theta\sin^2\phi + a^2\cos^2\theta}$

$= \sqrt{a^2\sin^2\theta(\cos^2\phi + \sin^2\phi) + a^2\cos^2\theta}$

$= \sqrt{a^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta}$

$= \sqrt{a^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)}$

$= \sqrt{a^2}$

$= |a|$

3. 最終的な答え

(2)

① $r = 3e_1 + 5e_2 + 2e_3$

② $r_1 = a\sin\theta\cos\phi e_1 + a\sin\theta\sin\phi e_2 + a\cos\theta e_3$

(3)

$|r_1| = |a|$