二次関数 $y = -2x^2 + 4x - 5$ の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めなさい。値が存在しない場合は「なし」と解答欄に入力すること。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -2x^2 + 4x - 5$ の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めなさい。値が存在しない場合は「なし」と解答欄に入力すること。

2. 解き方の手順

与えられた二次関数を平方完成する。

$y = -2x^2 + 4x - 5$

$y = -2(x^2 - 2x) - 5$

$y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 5$

$y = -2((x - 1)^2 - 1) - 5$

$y = -2(x - 1)^2 + 2 - 5$

$y = -2(x - 1)^2 - 3$

平方完成された式から、この二次関数は上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(1, -3)$ であることがわかる。

したがって、最大値は $x = 1$ のときに $-3$ となる。

最小値は存在しない。なぜなら、放物線は下に無限に伸びているからである。

3. 最終的な答え

最大値：-3 (x = 1 のとき)

最小値：なし (x = なし のとき)