問題は、九九の表の一部が省略された表において、縦に連続する3つのマス目を黒く塗り、そのマス目の数を上から順に$a$, $b$, $c$とするとき、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $a+c$を$b$の式で表しなさい。 (2) $a+b+c=48$となるような塗り方をすべて求め、表のます目を黒く塗って示しなさい。

1. 問題の内容

問題は、九九の表の一部が省略された表において、縦に連続する3つのマス目を黒く塗り、そのマス目の数を上から順に$a$, $b$, $c$とするとき、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $a+c$を$b$の式で表しなさい。

(2) $a+b+c=48$となるような塗り方をすべて求め、表のます目を黒く塗って示しなさい。

2. 解き方の手順

(1) 九九の表の性質を考えます。縦に連続する3つのマス目の数は、同じ列であれば、それぞれ1倍、2倍、3倍、…となっています。つまり、$a$, $b$, $c$は同じ数の1倍、2倍、3倍…となっています。そのため、$b$は$a$の1つ下の数、$c$は$b$の1つ下の数となります。つまり、$b = a+x$、$c = b+x$と表すことができます。$x$は1から9の数字を表します。ここで、$a=x*i$, $b=x*(i+1)$, $c=x*(i+2)$とおくと、$i$は自然数です。したがって、$a+c = x*i + x*(i+2) = 2*x*i + 2x = 2(x*i + x) = 2(b)$となります。よって、$a+c = 2b$です。

(2) $a+b+c = 48$となるような塗り方を求めます。(1)より、$a+c = 2b$なので、$2b+b=48$となり、$3b=48$となります。したがって、$b = 16$です。$b$は九九の表の数なので、$b = x*(i+1) = 16$となります。16は$2*8$, $4*4$, $8*2$に分解できます。$x$は1から9の自然数、$i$も自然数なので、$x = 2, i=7$, $x = 4, i=3$, $x=8, i=1$となります。

- $x = 2, i = 7$のとき、$a = 2*7 = 14$, $b = 16$, $c = 2*9 = 18$

- $x = 4, i = 3$のとき、$a = 4*3 = 12$, $b = 16$, $c = 4*5 = 20$

- $x = 8, i = 1$のとき、$a = 8*1 = 8$, $b = 16$, $c = 8*3 = 24$

九九の表の中に上記の数字が存在するかを確認します。

- 2の段には14,16,18は存在しません。

- 4の段には12,16,20は存在しません。

- 8の段には8,16,24は存在します。

そのため、九九の表の8の段の1,2,3番目の8,16,24となります。

3. 最終的な答え

(1) $a+c = 2b$

(2) 8, 16, 24の組み合わせのみが存在します。