与えられた対数式の値を計算します。問題の式は次のとおりです。 $4 \log_3 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \log_3 2 + \log_3 \frac{\sqrt{2}}{3}$

1. 問題の内容

与えられた対数式の値を計算します。問題の式は次のとおりです。

$4 \log_3 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \log_3 2 + \log_3 \frac{\sqrt{2}}{3}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ であるから、

$4 \log_3 \sqrt{3} = 4 \log_3 3^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2$

次に、$\frac{1}{2} \log_3 2 = \log_3 2^{\frac{1}{2}} = \log_3 \sqrt{2}$

与えられた式にこれらの結果を代入すると、

$2 - \log_3 \sqrt{2} + \log_3 \frac{\sqrt{2}}{3}$

対数の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を用いると、

$2 + \log_3 \frac{\sqrt{2}}{3} - \log_3 \sqrt{2} = 2 + \log_3 \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{2}} = 2 + \log_3 \frac{1}{3} = 2 + \log_3 3^{-1} = 2 - 1 = 1$

3. 最終的な答え

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