(1) 曲線 $y=e^x$ と2直線 $y=2$, $y$軸で囲まれた部分を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求める。 (2) 曲線C: $x = \cos^2 t$, $y = \sin^2 t$ ($0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$) の長さ$L$を求める。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y=e^x$ と2直線 $y=2$, $y$軸で囲まれた部分を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求める。

(2) 曲線C: $x = \cos^2 t$, $y = \sin^2 t$ ($0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$) の長さ$L$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 回転体の体積$V$を求める。

$y = e^x$ より $x = \log y$ である。$y$軸のまわりの回転体の体積は、

$V = \pi \int_1^2 (\log y)^2 dy$

ここで部分積分を行う。

$\int (\log y)^2 dy = y(\log y)^2 - \int y \cdot 2\log y \cdot \frac{1}{y} dy = y(\log y)^2 - 2 \int \log y dy$

$\int \log y dy = y\log y - \int y \cdot \frac{1}{y} dy = y\log y - y$

よって

$\int (\log y)^2 dy = y(\log y)^2 - 2(y\log y - y) = y(\log y)^2 - 2y\log y + 2y$

したがって、

$V = \pi \left[ y(\log y)^2 - 2y\log y + 2y \right]_1^2 = \pi \left[ (2(\log 2)^2 - 4\log 2 + 4) - (0 - 0 + 2) \right]$

$V = \pi \left[ 2(\log 2)^2 - 4\log 2 + 2 \right]$

問題の形式に合わせて変形する。

$V = \pi (2 (\log 2)^2 - 4 \log 2 + 4 - 2) = 2 \pi ( (\log 2)^2 - 2 \log 2 + 2 - 1) = 2 \pi (\log 2 - 1)^2$

y=e^xをy軸回転すると、y=2のときx=log2, y=1のときx=0

$V = \pi \int_{1}^{2} (\log y)^{2} dy = \pi ( y(\log y)^{2} -2y \log y +2y )|_{1}^{2} = \pi ( 2 (\log 2)^{2} - 4\log 2 +4 -2) = 2\pi(\log 2)^2 - 4\pi \log 2 +2\pi$

$V = \pi \int_1^2 x^2 dy = \pi \int_0^{\log 2} x^2 dy$

(2) 曲線の長さ$L$を求める。

$x = \cos^2 t$, $y = \sin^2 t$

$\frac{dx}{dt} = -2\cos t \sin t = -\sin 2t$

$\frac{dy}{dt} = 2\sin t \cos t = \sin 2t$

$L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{(-\sin 2t)^2 + (\sin 2t)^2} dt$

$L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2\sin^2 2t} dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2} |\sin 2t| dt$

$L = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t dt = \sqrt{2} \left[ -\frac{1}{2}\cos 2t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2} \left[ -\frac{1}{2}\cos \pi + \frac{1}{2}\cos 0 \right] = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right] = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $V = \pi(2-4\log 2 + 2(\log 2)^2)$

1: 2, 2: 2, 3: 4log2-2log^2(2)

(2) $L = \sqrt{2}$

4: 2