$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$ の極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$ の極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$y = x^{\frac{1}{x}}$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (x^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \ln x = \frac{\ln x}{x}$

ここで、$x \to \infty$ のとき $\frac{\ln x}{x}$ の極限を考えます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を用いることができます。

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = 0$

よって、

$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$

つまり、$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}} = 1$

3. 最終的な答え

1