## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int (5\cos x - 3\sin x) dx$

(2) $\int (3 - \tan x)\cos x dx$

(3) $\int \frac{\cos^3 x + 2}{\cos^2 x} dx$

(4) $\int \frac{1}{\tan^2 x} dx$

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2. 解き方の手順

**(1) $\int (5\cos x - 3\sin x) dx$**

三角関数の基本的な積分公式を利用します。

$\int \cos x dx = \sin x + C$

$\int \sin x dx = -\cos x + C$

$\int (5\cos x - 3\sin x) dx = 5\int \cos x dx - 3\int \sin x dx$

$= 5\sin x - 3(-\cos x) + C$

$= 5\sin x + 3\cos x + C$

**(2) $\int (3 - \tan x)\cos x dx$**

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を利用して式を整理します。

$\int (3 - \tan x)\cos x dx = \int (3 - \frac{\sin x}{\cos x})\cos x dx$

$= \int (3\cos x - \sin x) dx$

$= 3\int \cos x dx - \int \sin x dx$

$= 3\sin x - (-\cos x) + C$

$= 3\sin x + \cos x + C$

**(3) $\int \frac{\cos^3 x + 2}{\cos^2 x} dx$**

被積分関数を分割します。

$\int \frac{\cos^3 x + 2}{\cos^2 x} dx = \int (\frac{\cos^3 x}{\cos^2 x} + \frac{2}{\cos^2 x}) dx$

$= \int (\cos x + 2\sec^2 x) dx$

$= \int \cos x dx + 2\int \sec^2 x dx$

$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ なので、

$= \sin x + 2\tan x + C$

**(4) $\int \frac{1}{\tan^2 x} dx$**

$\frac{1}{\tan x} = \cot x$ なので、

$\int \frac{1}{\tan^2 x} dx = \int \cot^2 x dx$

$\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} - 1 = \csc^2 x - 1$

したがって、

$\int \cot^2 x dx = \int (\csc^2 x - 1) dx$

$= \int \csc^2 x dx - \int 1 dx$

$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$ なので、

$= -\cot x - x + C$

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3. 最終的な答え

(1) $5\sin x + 3\cos x + C$

(2) $3\sin x + \cos x + C$

(3) $\sin x + 2\tan x + C$

(4) $-\cot x - x + C$