不定積分 $I = \int \frac{1}{(x-1)(x^2+1)}dx$ を求める問題です。積分定数は省略してよいとあります。

1. 問題の内容

不定積分 $I = \int \frac{1}{(x-1)(x^2+1)}dx$ を求める問題です。積分定数は省略してよいとあります。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$ とおきます。

両辺に $(x-1)(x^2+1)$ をかけると、

$1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)$

$1 = Ax^2 + A + Bx^2 - Bx + Cx - C$

$1 = (A+B)x^2 + (-B+C)x + (A-C)$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$-B+C = 0$

$A-C = 1$

これらの連立方程式を解きます。

$B = -A$, $C=B=-A$を $A-C=1$ に代入すると、

$A-(-A) = 1$

$2A=1$

$A=\frac{1}{2}$

したがって、$B = -\frac{1}{2}$, $C = -\frac{1}{2}$ となります。

よって、

$\frac{1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{1/2}{x-1} + \frac{(-1/2)x+(-1/2)}{x^2+1} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{x+1}{2(x^2+1)}$

したがって、

$I = \int \left( \frac{1}{2(x-1)} - \frac{x+1}{2(x^2+1)} \right) dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{x}{x^2+1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$

各積分を計算します。

$\int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1|$

$\int \frac{x}{x^2+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2+1)$

$\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan x$

よって、

$I = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \ln(x^2+1) - \frac{1}{2} \arctan x + C$

$I = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{4} \ln(x^2+1) - \frac{1}{2} \arctan x + C$

3. 最終的な答え

$I = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{4} \ln(x^2+1) - \frac{1}{2} \arctan x$