関数 $y = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ の導関数 $y'$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ の導関数 $y'$ を求めよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いる。

$y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ である。

ここで、$u = \sin x - \cos x$、$v = \sin x + \cos x$ とおくと、

$u' = \cos x + \sin x$

$v' = \cos x - \sin x$

となる。

したがって、

$y' = \frac{(\cos x + \sin x)(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、

$y' = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}$

$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin 2x$ であるから、

$y' = \frac{2}{1 + \sin 2x}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{1 + \sin 2x}$