問題１：次の関数を微分せよ。 (1) $y = \sin^{-1} \frac{2x+5}{3}$ (2) $y = \tan^{-1} \frac{3x-2}{5}$ (3) $y = \cos^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ (4) $y = \sin^{-1} \frac{2x}{1+x^2}$ 問題２：$y = \sin^{-1}x \cdot \cos^{-1}x$ の増減を調べ、グラフを描け。

はい、承知いたしました。問題１の(1)から(4)を微分し、問題２の関数の増減を調べてグラフを描きます。

1. 問題の内容

問題１：次の関数を微分せよ。

(1) $y = \sin^{-1} \frac{2x+5}{3}$

(2) $y = \tan^{-1} \frac{3x-2}{5}$

(3) $y = \cos^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

(4) $y = \sin^{-1} \frac{2x}{1+x^2}$

問題２：$y = \sin^{-1}x \cdot \cos^{-1}x$ の増減を調べ、グラフを描け。

2. 解き方の手順

問題１：

(1) $y = \sin^{-1} \frac{2x+5}{3}$ の微分

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2x+5}{3})^2}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3\sqrt{1-\frac{(2x+5)^2}{9}}} = \frac{2}{\sqrt{9-(2x+5)^2}} = \frac{2}{\sqrt{9-(4x^2+20x+25)}} = \frac{2}{\sqrt{-4x^2-20x-16}} = \frac{2}{\sqrt{-4(x^2+5x+4)}} = \frac{1}{\sqrt{-(x+1)(x+4)}}$

(2) $y = \tan^{-1} \frac{3x-2}{5}$ の微分

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\frac{3x-2}{5})^2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5(1+\frac{(3x-2)^2}{25})} = \frac{3}{5(\frac{25+(3x-2)^2}{25})} = \frac{15}{25+(9x^2-12x+4)} = \frac{15}{9x^2-12x+29}$

(3) $y = \cos^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ の微分

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})^2}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}(2x)}{1+x^2} = -\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{1+x^2}}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = -\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2-x^2}} \cdot \frac{\frac{1+x^2-x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = -\frac{\sqrt{1+x^2}}{1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}(1+x^2)} = -\frac{1}{1+x^2}$

(4) $y = \sin^{-1} \frac{2x}{1+x^2}$ の微分

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2x}{1+x^2})^2}} \cdot \frac{2(1+x^2)-2x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2}{\sqrt{(1+x^2)^2-4x^2}} \cdot \frac{2+2x^2-4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2}{\sqrt{1+2x^2+x^4-4x^2}} \cdot \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2}{\sqrt{1-2x^2+x^4}} \cdot \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2}{\sqrt{(1-x^2)^2}} \cdot \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2}{|1-x^2|} \cdot \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)|1-x^2|}$

$|x| < 1$のとき，$\frac{2}{1+x^2}$

$|x| > 1$のとき，$-\frac{2}{1+x^2}$

問題２：

$y = \sin^{-1}x \cdot \cos^{-1}x$ の増減

定義域: $-1 \le x \le 1$

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cos^{-1}x + \sin^{-1}x (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) = \frac{\cos^{-1}x - \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$

$y'=0$ となるのは、$\cos^{-1}x = \sin^{-1}x$ つまり、$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき。

$-1 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y' > 0$

$\frac{1}{\sqrt{2}} < x < 1$ のとき、$y' < 0$

$x=-1$のとき、$y=\sin^{-1}(-1) \cos^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2} \cdot \pi = -\frac{\pi^2}{2}$

$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき、$y = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi^2}{16}$

$x=1$のとき、$y = \sin^{-1}(1) \cos^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

問題１：

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{-(x+1)(x+4)}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{15}{9x^2-12x+29}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}$

(4) $|x| < 1$のとき，$\frac{2}{1+x^2}$

$|x| > 1$のとき，$-\frac{2}{1+x^2}$

問題２：

増減表：

$x$ | $-1$ | $\cdots$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\cdots$ | $1$

---|---:|:---:|:---:|:---:|:---:

$y'$ | | $+$ | $0$ | $-$ |

$y$ | $-\frac{\pi^2}{2}$ | $\nearrow$ | $\frac{\pi^2}{16}$ | $\searrow$ | $0$

グラフは、$(-1, -\frac{\pi^2}{2})$ から単調増加し、$(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\pi^2}{16})$ で極大値をとり、そこから単調減少して $(1, 0)$ に至る。