$n$ を正の整数とし、$0 \le x \le \pi$ の範囲で $f(x) = \sin x$ , $g(x) = \sin x \sin^2 nx$ とおく。 (1) 曲線 $y = g(x)$ と $x$ 軸が囲む部分の面積を求めよ。 (2) 曲線 $y = f(x)$ と曲線 $y = g(x)$ の共有点のうち、共通の接線をもつすべての点の座標を求めよ。 (3) (2) で求めたすべての接点の $y$ 座標の値の平均を $A_n$ とおくとき、$\lim_{n \to \infty} A_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を正の整数とし、$0 \le x \le \pi$ の範囲で $f(x) = \sin x$ , $g(x) = \sin x \sin^2 nx$ とおく。

(1) 曲線 $y = g(x)$ と $x$ 軸が囲む部分の面積を求めよ。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と曲線 $y = g(x)$ の共有点のうち、共通の接線をもつすべての点の座標を求めよ。

(3) (2) で求めたすべての接点の $y$ 座標の値の平均を $A_n$ とおくとき、$\lim_{n \to \infty} A_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = g(x) = \sin x \sin^2 nx$ と $x$ 軸が囲む部分の面積を求める。

$g(x) = 0$ となるのは、$\sin x = 0$ または $\sin nx = 0$ のときである。

$0 \le x \le \pi$ で考えると、$\sin x = 0$ となるのは $x = 0, \pi$ のとき。

$\sin nx = 0$ となるのは $nx = k\pi$ ( $k$ は整数) つまり $x = \frac{k\pi}{n}$ のときである。

$0 \le x \le \pi$ なので、$0 \le k \le n$ である。

したがって、$x = \frac{k\pi}{n}$ ($k = 0, 1, \dots, n$) で $g(x) = 0$ となる。

面積は、

$S = \sum_{k=0}^{n-1} \left| \int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} \sin x \sin^2 nx \, dx \right|$

ここで、$\sin^2 nx = \frac{1 - \cos 2nx}{2}$ なので、

$S = \sum_{k=0}^{n-1} \left| \int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} \sin x \frac{1 - \cos 2nx}{2} \, dx \right|$

$= \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \left| \int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} \sin x \, dx - \int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} \sin x \cos 2nx \, dx \right|$

$\int \sin x \, dx = - \cos x + C$

$\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} \sin x \, dx = -\cos \frac{(k+1)\pi}{n} + \cos \frac{k\pi}{n}$

$\sin x \cos 2nx = \frac{1}{2} \left[ \sin(x+2nx) + \sin(x-2nx) \right] = \frac{1}{2} \left[ \sin( (2n+1)x) - \sin( (2n-1)x) \right]$

$\int \sin x \cos 2nx \, dx = \frac{1}{2} \int \left[ \sin( (2n+1)x) - \sin( (2n-1)x) \right] dx = -\frac{\cos((2n+1)x)}{2(2n+1)} + \frac{\cos((2n-1)x)}{2(2n-1)} + C$

$\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} \sin x \cos 2nx \, dx = \left[ -\frac{\cos((2n+1)x)}{2(2n+1)} + \frac{\cos((2n-1)x)}{2(2n-1)} \right]_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}}$

$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos((2n+1)\frac{(k+1)\pi}{n})}{2n+1} + \frac{\cos((2n-1)\frac{(k+1)\pi}{n})}{2n-1} + \frac{\cos((2n+1)\frac{k\pi}{n})}{2n+1} - \frac{\cos((2n-1)\frac{k\pi}{n})}{2n-1} \right]$

$n \to \infty$ で $\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} \sin x \cos 2nx \, dx \to 0$

$S = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \left| \int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} \sin x \, dx \right| = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \left| \cos \frac{k\pi}{n} - \cos \frac{(k+1)\pi}{n} \right|$

$= \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \left( \cos \frac{k\pi}{n} - \cos \frac{(k+1)\pi}{n} \right) = \frac{1}{2} \left( \cos 0 - \cos \pi \right) = \frac{1}{2} (1 - (-1)) = 1$

(2) $f(x) = \sin x$, $g(x) = \sin x \sin^2 nx$ の共有点では、$f(x) = g(x)$ つまり $\sin x = \sin x \sin^2 nx$

$\sin x (1 - \sin^2 nx) = 0$

$\sin x \cos^2 nx = 0$

$\sin x = 0$ または $\cos nx = 0$

$\sin x = 0$ より $x = 0, \pi$

$\cos nx = 0$ より $nx = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k$ は整数)

$x = \frac{\pi}{2n} + \frac{k\pi}{n} = \frac{(2k+1)\pi}{2n}$ ($0 \le x \le \pi$ より $0 \le 2k+1 \le 2n$, つまり $0 \le k \le n-1$)

共有点は $x = 0, \pi, \frac{(2k+1)\pi}{2n}$ ($k = 0, 1, \dots, n-1$)

$f'(x) = \cos x$

$g'(x) = \cos x \sin^2 nx + \sin x (2 \sin nx \cos nx) n = \cos x \sin^2 nx + n \sin x \sin 2nx$

共通の接線をもつとき $f'(x) = g'(x)$

$\cos x = \cos x \sin^2 nx + n \sin x \sin 2nx$

$\cos x (1 - \sin^2 nx) = n \sin x \sin 2nx$

$\cos x \cos^2 nx = n \sin x \sin 2nx = 2n \sin x \sin nx \cos nx$

$\cos nx (\cos x \cos nx - 2n \sin x \sin nx) = 0$

$\cos nx = 0$ または $\cos x \cos nx - 2n \sin x \sin nx = 0$

$\cos nx = 0$ のとき $x = \frac{(2k+1)\pi}{2n}$

$\cos x \cos nx - 2n \sin x \sin nx = 0$ のとき $\cos x \cos nx = 2n \sin x \sin nx$

$\cot x = 2n \tan nx$

$x = 0$ のとき $f'(0) = 1$, $g'(0) = 0$ より共通の接線を持たない。

$x = \pi$ のとき $f'(\pi) = -1$, $g'(\pi) = -1$ より共通の接線を持つ。

$x = \frac{(2k+1)\pi}{2n}$ のとき $f'(\frac{(2k+1)\pi}{2n}) = \cos (\frac{(2k+1)\pi}{2n})$

$g'(\frac{(2k+1)\pi}{2n}) = \cos(\frac{(2k+1)\pi}{2n}) \sin^2 (\frac{(2k+1)\pi}{2}) + n \sin(\frac{(2k+1)\pi}{2n}) \sin (\frac{(2k+1)\pi}{n}) = \cos(\frac{(2k+1)\pi}{2n}) + 0 = \cos(\frac{(2k+1)\pi}{2n})$

したがって、$x = \frac{(2k+1)\pi}{2n}$ はすべて共通接線を持つ。

よって、$x = \pi, \frac{(2k+1)\pi}{2n}$ ($k = 0, 1, \dots, n-1$)

$x = \pi$ のとき $y = \sin \pi = 0$

$x = \frac{(2k+1)\pi}{2n}$ のとき $y = \sin(\frac{(2k+1)\pi}{2n})$

したがって、接点の座標は $(\pi, 0)$, $(\frac{(2k+1)\pi}{2n}, \sin(\frac{(2k+1)\pi}{2n}))$

(3) $A_n = \frac{0 + \sum_{k=0}^{n-1} \sin(\frac{(2k+1)\pi}{2n})}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \sin(\frac{(2k+1)\pi}{2n})$

$\lim_{n \to \infty} A_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \sin(\frac{(2k+1)\pi}{2n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \sin(\frac{k\pi}{n} + \frac{\pi}{2n}) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \sin x dx = \frac{2}{\pi} [-\cos x]_0^{\pi/2} = \frac{2}{\pi} (0 - (-1)) = \frac{2}{\pi}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $(\pi, 0)$, $(\frac{(2k+1)\pi}{2n}, \sin(\frac{(2k+1)\pi}{2n}))$ ($k = 0, 1, \dots, n-1$)

(3) $\frac{2}{\pi}$