定積分 $\int_0^\pi \sin x \cos(2nx) dx$ を計算する問題です。ここで $n$ は整数とします。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^\pi \sin x \cos(2nx) dx$ を計算する問題です。ここで $n$ は整数とします。

2. 解き方の手順

積和の公式を利用して積分を計算します。

積和の公式は以下の通りです。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

この公式を適用すると、

$\sin x \cos(2nx) = \frac{1}{2} [\sin(x+2nx) + \sin(x-2nx)] = \frac{1}{2} [\sin((1+2n)x) + \sin((1-2n)x)]$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_0^\pi \sin x \cos(2nx) dx = \frac{1}{2} \int_0^\pi [\sin((1+2n)x) + \sin((1-2n)x)] dx$

$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos((1+2n)x)}{1+2n} - \frac{\cos((1-2n)x)}{1-2n} \right]_0^\pi$

$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos((1+2n)\pi)}{1+2n} - \frac{\cos((1-2n)\pi)}{1-2n} + \frac{\cos(0)}{1+2n} + \frac{\cos(0)}{1-2n} \right]$

$\cos(k\pi) = (-1)^k$ より、

$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{(-1)^{1+2n}}{1+2n} - \frac{(-1)^{1-2n}}{1-2n} + \frac{1}{1+2n} + \frac{1}{1-2n} \right]$

$(-1)^{1+2n} = (-1) (-1)^{2n} = -1$

$(-1)^{1-2n} = (-1) (-1)^{-2n} = -1$

なので、

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1+2n} + \frac{1}{1-2n} + \frac{1}{1+2n} + \frac{1}{1-2n} \right]$

$= \frac{1}{1+2n} + \frac{1}{1-2n}$

$= \frac{(1-2n) + (1+2n)}{(1+2n)(1-2n)} = \frac{2}{1-4n^2}$

3. 最終的な答え

$\int_0^\pi \sin x \cos(2nx) dx = \frac{2}{1-4n^2}$