曲線 $y = e^{-x}$ の接線で原点(0,0)を通るものを求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = e^{-x}$ の接線で原点(0,0)を通るものを求める。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, e^{-t})$ とおく。

次に、微分を使って接線の傾きを求める。$y = e^{-x}$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -e^{-x}$

したがって、接点 $(t, e^{-t})$ における接線の傾きは $-e^{-t}$ となる。

接線の方程式は、$y - e^{-t} = -e^{-t}(x - t)$ と表せる。

$y = -e^{-t}x + te^{-t} + e^{-t}$

この接線が原点(0,0)を通るので、接線の方程式に $x=0$, $y=0$ を代入する。

$0 = -e^{-t}(0) + te^{-t} + e^{-t}$

$0 = te^{-t} + e^{-t}$

$0 = e^{-t}(t + 1)$

$e^{-t}$ は常に正なので、$t + 1 = 0$ となる。したがって、$t = -1$。

$t = -1$ を接線の方程式に代入する。

$y = -e^{-(-1)}x + (-1)e^{-(-1)} + e^{-(-1)}$

$y = -ex - e + e$

$y = -ex$

3. 最終的な答え

$y = -ex$