関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能なとき、以下の極限値を $f(a)$ および $f'(a)$ を用いて表す問題です。 (1) $\lim_{h\to 0} \frac{f(a+2h)-f(a)}{h}$ (2) $\lim_{h\to 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{h}$ (3) $\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}$ (4) $\lim_{x\to a} \frac{xf(a)-af(x)}{x-a}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能なとき、以下の極限値を $f(a)$ および $f'(a)$ を用いて表す問題です。

(1) $\lim_{h\to 0} \frac{f(a+2h)-f(a)}{h}$

(2) $\lim_{h\to 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{h}$

(3) $\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}$

(4) $\lim_{x\to a} \frac{xf(a)-af(x)}{x-a}$

2. 解き方の手順

(1)

極限の形を微分係数の定義に近づけるために、以下のように変形します。

$\lim_{h\to 0} \frac{f(a+2h)-f(a)}{h} = \lim_{h\to 0} 2 \cdot \frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}$

$2h = t$ とおくと、$h \to 0$ のとき $t \to 0$ なので、

$2 \lim_{t\to 0} \frac{f(a+t)-f(a)}{t} = 2f'(a)$

(2)

極限の形を微分係数の定義に近づけるために、以下のように変形します。

$\lim_{h\to 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{-(f(a-h)-f(a))}{-h} = - \lim_{h\to 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{-h}$

$-h = t$ とおくと、$h \to 0$ のとき $t \to 0$ なので、

$- \lim_{t\to 0} \frac{f(a+t)-f(a)}{t} = -f'(a)$

(3)

極限の形を微分係数の定義に近づけるために、以下のように変形します。

$\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a) + f(a)-f(a-h)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} - \lim_{h\to 0} \frac{f(a-h)-f(a)}{h}$

それぞれ微分係数で表すと、

$f'(a) - (-f'(a)) = 2f'(a)$

(4)

極限の式を変形します。

$\lim_{x\to a} \frac{xf(a)-af(x)}{x-a} = \lim_{x\to a} \frac{xf(a) - af(a) + af(a) - af(x)}{x-a} = \lim_{x\to a} \frac{f(a)(x-a) - a(f(x)-f(a))}{x-a}$

$= \lim_{x\to a} f(a) - a \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f(a) - a f'(a)$

3. 最終的な答え

(1) $2f'(a)$

(2) $-f'(a)$

(3) $2f'(a)$

(4) $f(a) - af'(a)$