関数 $y = \frac{a - \cos x}{x^2 - 1}$ が、与えられた微分方程式 $(x^2 - 1)y' + 2xy = \sin x$ を満たすことを証明する問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{a - \cos x}{x^2 - 1}$ が、与えられた微分方程式 $(x^2 - 1)y' + 2xy = \sin x$ を満たすことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を微分して $y'$ を求めます。

$y = \frac{a - \cos x}{x^2 - 1}$ なので、商の微分公式を用いて計算します。商の微分公式は$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$です。

この問題では、$u = a - \cos x$、 $v = x^2 - 1$ なので、

$u' = \sin x$、 $v' = 2x$ となります。

したがって、

$y' = \frac{(\sin x)(x^2 - 1) - (a - \cos x)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$

$y' = \frac{(x^2 - 1)\sin x - 2x(a - \cos x)}{(x^2 - 1)^2}$

次に、$y'$ を微分方程式の左辺に代入して、それが右辺の $\sin x$ に等しいことを示します。

$(x^2 - 1)y' + 2xy = (x^2 - 1)\frac{(x^2 - 1)\sin x - 2x(a - \cos x)}{(x^2 - 1)^2} + 2x\frac{a - \cos x}{x^2 - 1}$

$= \frac{(x^2 - 1)\sin x - 2x(a - \cos x)}{x^2 - 1} + \frac{2x(a - \cos x)}{x^2 - 1}$

$= \frac{(x^2 - 1)\sin x - 2x(a - \cos x) + 2x(a - \cos x)}{x^2 - 1}$

$= \frac{(x^2 - 1)\sin x}{x^2 - 1}$

$= \sin x$

したがって、与えられた関数 $y = \frac{a - \cos x}{x^2 - 1}$ は、微分方程式 $(x^2 - 1)y' + 2xy = \sin x$ を満たすことが証明できました。

3. 最終的な答え

関数 $y = \frac{a - \cos x}{x^2 - 1}$ は、微分方程式 $(x^2 - 1)y' + 2xy = \sin x$ を満たす。