$n$ を正の整数とし、$0 \le x \le \pi$ の範囲で $f(x) = \sin x$、$g(x) = \sin x \sin^2 nx$ とおく。 (1) 曲線 $y = g(x)$ と $x$ 軸が囲む部分の面積を求めよ。 (2) 曲線 $y = f(x)$ と曲線 $y = g(x)$ の共有点のうち、共通の接線をもつすべての点の座標を求めよ。 (3) (2) で求めたすべての接点の $y$ 座標の値の平均を $A_n$ とおくとき、$\lim_{n \to \infty} A_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を正の整数とし、$0 \le x \le \pi$ の範囲で $f(x) = \sin x$、$g(x) = \sin x \sin^2 nx$ とおく。

(1) 曲線 $y = g(x)$ と $x$ 軸が囲む部分の面積を求めよ。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と曲線 $y = g(x)$ の共有点のうち、共通の接線をもつすべての点の座標を求めよ。

(3) (2) で求めたすべての接点の $y$ 座標の値の平均を $A_n$ とおくとき、$\lim_{n \to \infty} A_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = g(x) = \sin x \sin^2 nx$ と $x$ 軸が囲む部分の面積を求める。

$0 \le x \le \pi$ の範囲において、$\sin x \ge 0$ である。よって、$g(x) = 0$ となるのは $\sin^2 nx = 0$ のとき、つまり $\sin nx = 0$ のときである。

$\sin nx = 0$ となるのは、$nx = k\pi$ ($k$ は整数) のときなので、$x = \frac{k\pi}{n}$ である。

$0 \le x \le \pi$ であるから、$0 \le \frac{k\pi}{n} \le \pi$。よって、$0 \le k \le n$ である。

したがって、$x = \frac{k\pi}{n}$ ($k = 0, 1, \dots, n$) で $g(x) = 0$ となる。

$g(x)$ は $\frac{k\pi}{n}$ と $\frac{(k+1)\pi}{n}$ の間で符号が変わらないので、面積 $S$ は

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S = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} |\sin x \sin^2 nx| dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} \sin x \sin^2 nx dx

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$t = nx$ とおくと、$x = \frac{t}{n}$ より $dx = \frac{dt}{n}$。

$x = \frac{k\pi}{n}$ のとき $t = k\pi$, $x = \frac{(k+1)\pi}{n}$ のとき $t = (k+1)\pi$。

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S = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \sin\left(\frac{t}{n}\right) \sin^2 t \frac{dt}{n}

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$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \sin^2 t dt = \int_0^{\pi} \sin^2 t dt = \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = \left[\frac{t}{2} - \frac{\sin 2t}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2}$。

$\sin \left(\frac{t}{n}\right) \approx \frac{t}{n}$ (微小角近似)と近似すると

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S = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \sin x \sin^2 nx dx \approx \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \sin^2(t) \frac{1}{n} \sin\frac{(2k+1)\pi}{2n} \frac{dt}{n}

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S = \int_0^{\pi} \sin x \sin^2 nx dx = \int_0^{\pi} \sin x \frac{1-\cos 2nx}{2} dx = \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{2} dx - \int_0^{\pi} \frac{\sin x \cos 2nx}{2} dx

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\int_0^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\pi} = 2

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\int_0^{\pi} \sin x \cos 2nx dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sin(x+2nx) + \sin(x-2nx) dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x) dx

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= \frac{1}{2} \left[-\frac{\cos((2n+1)x)}{2n+1} + \frac{\cos((2n-1)x)}{2n-1}\right]_0^{\pi} = \frac{1}{2} \left[\frac{1 - (-1)^{2n+1}}{2n+1} - \frac{1 - (-1)^{2n-1}}{2n-1}\right] = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{2n+1} - \frac{2}{2n-1}\right]

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= \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n-1} = \frac{(2n-1)-(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{-2}{4n^2 - 1}

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S = \frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{-2}{4n^2-1} = 1 + \frac{1}{4n^2 - 1}

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(2) $f(x) = \sin x$, $g(x) = \sin x \sin^2 nx$

$f'(x) = \cos x$, $g'(x) = \cos x \sin^2 nx + \sin x (2 \sin nx \cos nx) n = \cos x \sin^2 nx + n \sin x \sin 2nx$

$f(x) = g(x)$ かつ $f'(x) = g'(x)$ を満たす $x$ を求める。

$\sin x = \sin x \sin^2 nx$ より $\sin x (1 - \sin^2 nx) = 0$ より $\sin x \cos^2 nx = 0$。

$\sin x = 0$ より $x = 0, \pi$。

$\cos nx = 0$ より $nx = \frac{\pi}{2} + k\pi$ より $x = \frac{\pi}{2n} + \frac{k\pi}{n} = \frac{(2k+1)\pi}{2n}$ ($k$ は整数)。

$f'(x) = g'(x)$ より $\cos x = \cos x \sin^2 nx + n \sin x \sin 2nx$

$\cos x(1-\sin^2 nx) = n \sin x \sin 2nx$ より $\cos x \cos^2 nx = n \sin x \sin 2nx = 2n \sin x \sin nx \cos nx$

$\cos nx (\cos x \cos nx - 2n \sin x \sin nx) = 0$

$\cos nx = 0$ より $x = \frac{(2k+1)\pi}{2n}$ のとき、$\cos x \cos nx - 2n \sin x \sin nx = 0$ を満たしている必要がある。

$\cos x \cdot 0 - 2n \sin x \sin nx = 0$ より $\sin x \sin nx = 0$ である必要がある。

$\sin nx \ne 0$ なので $\sin x = 0$。つまり $x=0, \pi$。

$\cos nx \ne 0$ のとき、$\cos x \cos nx - 2n \sin x \sin nx = 0$ より $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x = \frac{\cos x \cos nx}{2n \sin x \sin nx} = \frac{1}{2n} \cot nx = \frac{\cos nx}{2n \sin nx}$

$\tan x = \frac{1}{2n} \cot nx$ を満たす $x$ は存在しない。

$\sin x = 0$ ならば $x = 0, \pi$。

$x = 0$ のとき $f(0) = 0$, $g(0) = 0$, $f'(0) = 1$, $g'(0) = 0 + n \cdot 0 \cdot 0 = 0$ (接線の傾きが違う)

$x = \pi$ のとき $f(\pi) = 0$, $g(\pi) = 0$, $f'(\pi) = -1$, $g'(\pi) = -1 \cdot 0 + n \cdot 0 \cdot 0 = 0$ (接線の傾きが違う)

$\cos nx = 0$ のとき $g(x) = 0$, $f(x) = \sin x = 0$。$\sin x = 0$ となるのは $x = 0, \pi$ だから、$\cos nx = 0$ のとき $\sin x = 0$ となるのはない。

(3)

$y=f(x)= \sin x$

共有点は $\sin x=0, \pi$なので、接点のy座標は0。$y=0$

3. 最終的な答え

(1) $1 + \frac{1}{4n^2 - 1}$

(2) 存在しない。

(3) 0