$0 \le x \le \pi$の範囲で、$f(x) = \sin x$、$g(x) = \sin x \sin^2 nx$とする。 (1) 曲線 $y=g(x)$ と $x$ 軸が囲む部分の面積を求める。 (2) 曲線 $y=f(x)$ と曲線 $y=g(x)$ の共有点のうち、共通の接線をもつ全ての点の座標を求める。 (3) (2) で求めた全ての接点の $y$ 座標の値の平均を $A_n$ とおくとき、$\lim_{n \to \infty} A_n$ を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$の範囲で、$f(x) = \sin x$、$g(x) = \sin x \sin^2 nx$とする。

(1) 曲線 $y=g(x)$ と $x$ 軸が囲む部分の面積を求める。

(2) 曲線 $y=f(x)$ と曲線 $y=g(x)$ の共有点のうち、共通の接線をもつ全ての点の座標を求める。

(3) (2) で求めた全ての接点の $y$ 座標の値の平均を $A_n$ とおくとき、$\lim_{n \to \infty} A_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = g(x) = \sin x \sin^2 nx$ である。$y=g(x)$ と $x$軸の交点を求める。$\sin x \sin^2 nx = 0$ より、$\sin x = 0$ または $\sin nx = 0$ である。

$\sin x = 0$ より、$x = 0, \pi$

$\sin nx = 0$ より、$nx = k\pi$ ($k$ は整数)なので、$x = \frac{k\pi}{n}$ ($k = 0, 1, \dots, n$)

$x$ 軸と囲む面積は、$\int_0^\pi |\sin x \sin^2 nx| dx = \int_0^\pi \sin x \sin^2 nx dx$

$I = \int_0^\pi \sin x \sin^2 nx dx = \int_0^\pi \sin x \frac{1 - \cos 2nx}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^\pi (\sin x - \sin x \cos 2nx) dx$

$= \frac{1}{2} \int_0^\pi \sin x dx - \frac{1}{2} \int_0^\pi \sin x \cos 2nx dx$

$\int_0^\pi \sin x dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$

$\int_0^\pi \sin x \cos 2nx dx = \int_0^\pi \frac{1}{2}(\sin(x+2nx) + \sin(x-2nx)) dx = \frac{1}{2} \int_0^\pi (\sin(1+2n)x + \sin(1-2n)x) dx$

$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos(1+2n)x}{1+2n} - \frac{\cos(1-2n)x}{1-2n} \right]_0^\pi$

$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos(1+2n)\pi}{1+2n} - \frac{\cos(1-2n)\pi}{1-2n} + \frac{1}{1+2n} + \frac{1}{1-2n} \right]$

$\cos(1+2n)\pi = \cos \pi = -1$, $\cos(1-2n)\pi = \cos \pi = -1$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1+2n} + \frac{1}{1-2n} + \frac{1}{1+2n} + \frac{1}{1-2n} \right] = \frac{1}{1+2n} + \frac{1}{1-2n} = \frac{1-2n + 1+2n}{(1+2n)(1-2n)} = \frac{2}{1-4n^2}$

$I = \frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1-4n^2} = 1 - \frac{1}{1-4n^2} = \frac{1-4n^2-1}{1-4n^2} = \frac{-4n^2}{1-4n^2} = \frac{4n^2}{4n^2-1}$

(2)

$f(x) = \sin x$

$f'(x) = \cos x$

$g(x) = \sin x \sin^2 nx$

$g'(x) = \cos x \sin^2 nx + \sin x \cdot 2 \sin nx \cos nx \cdot n = \cos x \sin^2 nx + n \sin x \sin 2nx$

$f(x) = g(x)$ かつ $f'(x) = g'(x)$ を満たす $x$ を求める。

$\sin x = \sin x \sin^2 nx$ より、$\sin x (1 - \sin^2 nx) = 0$ つまり $\sin x \cos^2 nx = 0$

$\cos x = \cos x \sin^2 nx + n \sin x \sin 2nx$

$\cos x = \cos x \sin^2 nx + 2n \sin^2 x \cos nx$

$\sin x = 0$ のとき、$x = 0, \pi$。このとき $\cos x = 1, -1$。$\cos x = \cos x \sin^2 nx$ より $\cos x(1-\sin^2 nx)=0$ なので $\cos x \cos^2 nx = 0$ 。

$\sin x = 0$ より、$\sin^2 nx = 0$ なので、$x = 0, \pi$ で共通接線を持つ。

このとき$f(0) = 0$, $f(\pi) = 0$

$\cos^2 nx = 0$ のとき、$\cos nx = 0$ なので、$nx = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k$ は整数) つまり $x = \frac{(2k+1)\pi}{2n}$

$\cos x = 2n \sin^2 x \cos nx = 0$, $\cos x = 0$ よって $x = \frac{\pi}{2}$

$f(\frac{\pi}{2}) = 1$, $g(\frac{\pi}{2}) = \sin^2 n\frac{\pi}{2}$. これが等しいのは、$n=1$.

共通の接線を持つ点は $(0, 0)$, $(\pi, 0)$。

$x = \frac{(2k+1)\pi}{2n}$ の時、$\cos nx = 0$. この時、$\cos x = 2n\sin^2 x \cos nx = 0$. よって $\cos x = 0$ なので、

$\sin x = 1$. $f(x) = g(x)$ なので、$\sin x = \sin x \sin^2 nx$ より、$1 = 1 \cdot \sin^2 nx$ つまり $\sin nx = \pm 1$ 。

$f(x) = \sin x$, $f'(x) = \cos x$, $g(x) = \sin x \sin^2 nx$

$g'(x) = \cos x \sin^2 nx + \sin x \cdot 2 \sin nx \cos nx \cdot n = \cos x \sin^2 nx + n \sin x \sin 2nx$

$\sin x = \sin x \sin^2 nx$, $\cos x = \cos x \sin^2 nx + n \sin x \sin 2nx$

$x = \frac{(2k+1)\pi}{2n}$ において、$x = \pi/2$ かつ $\sin n\pi/2 = 1$.

$\sin x = \sin \pi/2 = 1$. よって $\sin nx = \pm 1$ より $nx = \frac{\pi}{2} + k\pi$ よって $x = \frac{\pi}{2n} + \frac{k\pi}{n}$.

(0, 0), (π, 0) で $f(x)=g(x)$ かつ $f'(x)=g'(x)$が成立する。

(3)

(2)で求めた接点のy座標は全て0なので、$\lim_{n \to \infty} A_n = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4n^2}{4n^2-1}$

(2) (0, 0), (π, 0)

(3) 0