(1) 関数 $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求めよ。 (2) 関数 $y = x^3 - x^2 - 2x + 3$ において、傾きが3の接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^3 - x$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求めよ。

(2) 関数 $y = x^3 - x^2 - 2x + 3$ において、傾きが3の接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^3 - x$ を微分して、導関数を求める。

$y' = 3x^2 - 1$

点 $(1, 0)$ における接線の傾きは、$x = 1$ を代入して、

$y'(1) = 3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$

したがって、点 $(1, 0)$ を通り、傾きが2の直線の方程式は、

$y - 0 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2$

(2)

まず、$y = x^3 - x^2 - 2x + 3$ を微分して、導関数を求める。

$y' = 3x^2 - 2x - 2$

接線の傾きが3であるから、$y' = 3$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 2x - 2 = 3$

$3x^2 - 2x - 5 = 0$

$(3x - 5)(x + 1) = 0$

$x = \frac{5}{3}, -1$

$x = \frac{5}{3}$ のとき、

$y = (\frac{5}{3})^3 - (\frac{5}{3})^2 - 2(\frac{5}{3}) + 3 = \frac{125}{27} - \frac{25}{9} - \frac{10}{3} + 3 = \frac{125 - 75 - 90 + 81}{27} = \frac{41}{27}$

接線の方程式は、$y - \frac{41}{27} = 3(x - \frac{5}{3})$

$y = 3x - 5 + \frac{41}{27} = 3x - \frac{135 - 41}{27} = 3x - \frac{94}{27}$

$x = -1$ のとき、

$y = (-1)^3 - (-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 - 1 + 2 + 3 = 3$

接線の方程式は、$y - 3 = 3(x - (-1))$

$y = 3x + 3 + 3 = 3x + 6$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x - 2$

(2) $y = 3x - \frac{94}{27}$ と $y = 3x + 6$