関数 $y = x^3 + 3ax^2 + 3bx + c$ が $x=1$ で極小値をとり、点 $(0, 3)$ が変曲点であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 + 3ax^2 + 3bx + c$ が $x=1$ で極小値をとり、点 $(0, 3)$ が変曲点であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y$ の導関数と二階導関数を求める。

$y' = 3x^2 + 6ax + 3b$

$y'' = 6x + 6a$

(2) $x=1$ で極小値をとることから、$y'(1) = 0$。

$3(1)^2 + 6a(1) + 3b = 0$

$3 + 6a + 3b = 0$

$6a + 3b = -3$

$2a + b = -1$ (1)

(3) 点 $(0, 3)$ が変曲点であることから、$y''(0) = 0$。

$6(0) + 6a = 0$

$6a = 0$

$a = 0$

(4) $a = 0$ を (1) に代入する。

$2(0) + b = -1$

$b = -1$

(5) 点 $(0, 3)$ はグラフ上の点であるから、$y(0) = 3$。

$(0)^3 + 3a(0)^2 + 3b(0) + c = 3$

$c = 3$

したがって、$a = 0, b = -1, c = 3$。

3. 最終的な答え

$a = 0$, $b = -1$, $c = 3$