与えられた3つの2変数関数について、それぞれの極値を求めます。 (1) $h(x, y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$ (2) $h(x, y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$ (3) $h(x, y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$

1. 問題の内容

与えられた3つの2変数関数について、それぞれの極値を求めます。

(1) $h(x, y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$

(2) $h(x, y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$

(3) $h(x, y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で極値を求めます。

(1) 偏導関数を求めます。$h_x$ と $h_y$ を計算します。

(2) 偏導関数をゼロとおき、連立方程式を解いて停留点 (臨界点) を求めます。$h_x = 0$ かつ $h_y = 0$ を満たす $(x, y)$ を求めます。

(3) 2階偏導関数を求めます。$h_{xx}$, $h_{yy}$, $h_{xy}$ を計算します。

(4) ヘッセ行列式 $D = h_{xx}h_{yy} - (h_{xy})^2$ を計算します。

(5) 各停留点において、$D$ の符号と $h_{xx}$ の符号を調べます。

* $D > 0$ かつ $h_{xx} > 0$ ならば、極小値。

* $D > 0$ かつ $h_{xx} < 0$ ならば、極大値。

* $D < 0$ ならば、鞍点。

* $D = 0$ ならば、判定不能。

以下に各関数に対する計算を示します。

(1) $h(x, y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$

$h_x = 6x - 5y - 1$

$h_y = -5x + 6y - 1$

$6x - 5y = 1$

$-5x + 6y = 1$

これを解くと $x = 1$, $y = 1$。停留点は $(1, 1)$。

$h_{xx} = 6$

$h_{yy} = 6$

$h_{xy} = -5$

$D = h_{xx}h_{yy} - (h_{xy})^2 = 6 \cdot 6 - (-5)^2 = 36 - 25 = 11$

$D > 0$ かつ $h_{xx} > 0$ なので、$(1, 1)$ で極小値をとります。

$h(1, 1) = 3 - 5 + 3 - 1 - 1 = -1$

(2) $h(x, y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$

$h_x = -2x + y + 4$

$h_y = x - 2y - 2$

$-2x + y = -4$

$x - 2y = 2$

これを解くと $x = 2$, $y = 0$。停留点は $(2, 0)$。

$h_{xx} = -2$

$h_{yy} = -2$

$h_{xy} = 1$

$D = h_{xx}h_{yy} - (h_{xy})^2 = (-2) \cdot (-2) - (1)^2 = 4 - 1 = 3$

$D > 0$ かつ $h_{xx} < 0$ なので、$(2, 0)$ で極大値をとります。

$h(2, 0) = -4 + 0 - 0 + 8 - 0 = 4$

(3) $h(x, y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$

$h_x = y - x^{-2}$

$h_y = x - 8y^{-2}$

$y = x^{-2}$

$x = 8y^{-2}$

$x = 8(x^{-2})^{-2} = 8x^4$

$x^3 = \frac{1}{8}$

$x = \frac{1}{2}$

$y = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$

停留点は $(\frac{1}{2}, 4)$。

$h_{xx} = 2x^{-3}$

$h_{yy} = 16y^{-3}$

$h_{xy} = 1$

$h_{xx}(\frac{1}{2}, 4) = 2 (\frac{1}{2})^{-3} = 2 \cdot 8 = 16$

$h_{yy}(\frac{1}{2}, 4) = 16 (4)^{-3} = 16 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{4}$

$D = h_{xx}h_{yy} - (h_{xy})^2 = 16 \cdot \frac{1}{4} - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$D > 0$ かつ $h_{xx} > 0$ なので、$(\frac{1}{2}, 4)$ で極小値をとります。

$h(\frac{1}{2}, 4) = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 + 8 \cdot \frac{1}{4} = 2 + 2 + 2 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $(1, 1)$ で極小値 $-1$ をとる。

(2) $(2, 0)$ で極大値 $4$ をとる。

(3) $(\frac{1}{2}, 4)$ で極小値 $6$ をとる。