与えられた関数に対して、ライプニッツの公式を用いて第 $n$ 次導関数を求める問題です。 (1) $x^3e^{2x}$ (2) $x^2\log(1+x)$ (3) $x^3\sin(2x)$

1. 問題の内容

与えられた関数に対して、ライプニッツの公式を用いて第 $n$ 次導関数を求める問題です。

(1) $x^3e^{2x}$

(2) $x^2\log(1+x)$

(3) $x^3\sin(2x)$

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 次導関数を計算するために使用されます。

ライプニッツの公式は次のとおりです。

$\qquad (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)}v^{(k)}$

ここで $\binom{n}{k}$ は二項係数であり、$u^{(n-k)}$ は $u(x)$ の $(n-k)$ 次導関数、$v^{(k)}$ は $v(x)$ の $k$ 次導関数を表します。

(1) $x^3e^{2x}$ の場合

$u(x) = x^3$ と $v(x) = e^{2x}$ とします。

$u(x)$ の導関数は次のようになります。

$u'(x) = 3x^2$

$u''(x) = 6x$

$u'''(x) = 6$

$u^{(4)}(x) = 0$

$n \geq 4$ の場合、$u^{(n)}(x) = 0$ となります。

$v(x)$ の導関数は次のようになります。

$v'(x) = 2e^{2x}$

$v''(x) = 4e^{2x} = 2^2e^{2x}$

$v'''(x) = 8e^{2x} = 2^3e^{2x}$

一般に、$v^{(k)}(x) = 2^ke^{2x}$ となります。

ライプニッツの公式を使用すると、

$(x^3e^{2x})^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^3)^{(n-k)} (e^{2x})^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

$n \geq 4$ の場合、$u^{(n-k)}=0$ となる項が多くなります。

$k=n, n-1, n-2, n-3$ 以外の項はゼロになるため、

$(x^3e^{2x})^{(n)} = \binom{n}{0}x^3 2^n e^{2x} + \binom{n}{1}3x^2 2^{n-1}e^{2x} + \binom{n}{2}6x 2^{n-2}e^{2x} + \binom{n}{3}6 2^{n-3}e^{2x}$

$(x^3e^{2x})^{(n)} = e^{2x} \left[ 2^n x^3 + n 2^{n-1} 3x^2 + \frac{n(n-1)}{2} 2^{n-2} 6x + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} 2^{n-3} 6 \right]$

$(x^3e^{2x})^{(n)} = 2^{n-3} e^{2x} \left[ 8x^3 + 12nx^2 + 6n(n-1)x + n(n-1)(n-2) \right]$

(2) $x^2\log(1+x)$ の場合

$u(x) = x^2$ と $v(x) = \log(1+x)$ とします。

$u'(x) = 2x$

$u''(x) = 2$

$u^{(3)}(x) = 0$

$v'(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$v''(x) = -1(1+x)^{-2}$

$v'''(x) = 2(1+x)^{-3}$

$v^{(4)}(x) = -6(1+x)^{-4}$

$v^{(k)}(x) = (-1)^{k-1}(k-1)!(1+x)^{-k}$ for $k\ge1$

$(x^2\log(1+x))^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^2)^{(n-k)} (\log(1+x))^{(k)}$

$(x^2\log(1+x))^{(n)} = \binom{n}{0}x^2(\log(1+x))^{(n)} + \binom{n}{1}2x(\log(1+x))^{(n-1)} + \binom{n}{2}2(\log(1+x))^{(n-2)}$

$(\log(1+x))^{(n)} = (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n}$

$(x^2\log(1+x))^{(n)} = x^2(-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n} + n2x(-1)^{n-2}(n-2)!(1+x)^{-n+1} + \frac{n(n-1)}{2}2(-1)^{n-3}(n-3)!(1+x)^{-n+2}$

$(x^2\log(1+x))^{(n)} = (-1)^{n-3}(n-3)!(1+x)^{-n}(x^2(1+x)^2(n-1)(n-2) + 2nx(1+x)(n-2) + n(n-1))$

(3) $x^3\sin(2x)$ の場合

$u(x) = x^3$ と $v(x) = \sin(2x)$ とします。

$u'(x) = 3x^2$

$u''(x) = 6x$

$u'''(x) = 6$

$u^{(4)}(x) = 0$

$v(x) = \sin(2x)$

$v'(x) = 2\cos(2x) = 2\sin(2x+\frac{\pi}{2})$

$v''(x) = -4\sin(2x) = 2^2\sin(2x+\pi)$

$v'''(x) = -8\cos(2x) = 2^3\sin(2x+\frac{3\pi}{2})$

$v^{(k)}(x) = 2^k\sin(2x+\frac{k\pi}{2})$

$(x^3\sin(2x))^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)}v^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^3)^{(n-k)}(\sin(2x))^{(k)}$

$(x^3\sin(2x))^{(n)} = \binom{n}{0}x^32^n\sin(2x+\frac{n\pi}{2}) + \binom{n}{1}3x^22^{n-1}\sin(2x+\frac{(n-1)\pi}{2}) + \binom{n}{2}6x2^{n-2}\sin(2x+\frac{(n-2)\pi}{2}) + \binom{n}{3}6\cdot 2^{n-3}\sin(2x+\frac{(n-3)\pi}{2})$

$(x^3\sin(2x))^{(n)} = 2^{n-3}\left[8x^3\sin(2x+\frac{n\pi}{2}) + 12nx^2\sin(2x+\frac{(n-1)\pi}{2}) + 6n(n-1)x\sin(2x+\frac{(n-2)\pi}{2}) + n(n-1)(n-2)\sin(2x+\frac{(n-3)\pi}{2})\right]$

3. 最終的な答え

(1) $(x^3e^{2x})^{(n)} = 2^{n-3} e^{2x} \left[ 8x^3 + 12nx^2 + 6n(n-1)x + n(n-1)(n-2) \right]$

(2) $(x^2\log(1+x))^{(n)} = (-1)^{n-3}(n-3)!(1+x)^{-n}(x^2(1+x)^2(n-1)(n-2) + 2nx(1+x)(n-2) + n(n-1))$

(3) $(x^3\sin(2x))^{(n)} = 2^{n-3}\left[8x^3\sin(2x+\frac{n\pi}{2}) + 12nx^2\sin(2x+\frac{(n-1)\pi}{2}) + 6n(n-1)x\sin(2x+\frac{(n-2)\pi}{2}) + n(n-1)(n-2)\sin(2x+\frac{(n-3)\pi}{2})\right]$