画像には2つの積分問題が含まれています。一つ目は $\int x\sqrt{x^2+2}dx$ であり、二つ目は $\int \cos^2 x dx$ です。それぞれを計算し、定数項Cを付けて答えを求める必要があります。

1. 問題の内容

画像には2つの積分問題が含まれています。一つ目は $\int x\sqrt{x^2+2}dx$ であり、二つ目は $\int \cos^2 x dx$ です。それぞれを計算し、定数項Cを付けて答えを求める必要があります。

2. 解き方の手順

(ケ) $\int x\sqrt{x^2+2}dx$

置換積分を行います。$u = x^2+2$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2x$ より $dx = \frac{du}{2x}$ となります。

積分は $\int x \sqrt{u} \frac{du}{2x} = \int \frac{1}{2}\sqrt{u} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du$ となります。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

$u = x^2 + 2$ を代入して、$\frac{1}{3} (x^2 + 2)^{\frac{3}{2}} + C$ となります。

(コ) $\int \cos^2 x dx$

半角の公式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を使います。

$\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2x) dx = \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \cos 2x dx$

$= \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

3. 最終的な答え

(ケ) $\frac{1}{3}(x^2+2)^{\frac{3}{2}} + C$

(コ) $\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$