問題は2つあります。 問題3：関数 $y = x^2 - 4x + 5$ の区間 $1 \leq x \leq 4$ における最大値と最小値を求めよ。 問題4：関数 $y = x^4 + 3x^2 + 1$ の最小値と最大値を求めよ。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

問題3：関数 $y = x^2 - 4x + 5$ の区間 $1 \leq x \leq 4$ における最大値と最小値を求めよ。

問題4：関数 $y = x^4 + 3x^2 + 1$ の最小値と最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題3：

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$

この関数は、下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(2, 1)$ です。

定義域 $1 \leq x \leq 4$ における関数の値を調べます。

$x = 1$ のとき、$y = (1 - 2)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$x = 2$ のとき、$y = (2 - 2)^2 + 1 = 0 + 1 = 1$

$x = 4$ のとき、$y = (4 - 2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

区間内で$x=2$のとき最小値1をとり、$x=4$のとき最大値5をとります。

問題4：

$t = x^2$ とおくと、$t \geq 0$ であり、

$y = t^2 + 3t + 1$

これを平方完成すると、

$y = (t + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1 = (t + \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$

$t = x^2 \geq 0$ なので、$t = 0$ のとき、$y$ は最小値をとります。

$t=0$のとき、$y = (0+\frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4} = \frac{9}{4}-\frac{5}{4}=1$

この関数に最大値はありません。xが無限大に近づくにつれて、yも無限大に大きくなるためです。

3. 最終的な答え

問題3：

最大値：5

最小値：1

問題4：

最小値：1

最大値：なし