定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin 2x \sin x dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin 2x \sin x dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

積和の公式を用いて、$\sin 2x \sin x$ を和の形に変形します。

積和の公式は以下の通りです。

$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$

これを用いると、

$\sin 2x \sin x = \frac{1}{2} [\cos(2x-x) - \cos(2x+x)] = \frac{1}{2} [\cos x - \cos 3x]$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin 2x \sin x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2} (\cos x - \cos 3x) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\cos x - \cos 3x) dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \sin \frac{\pi}{3} - \sin 0 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos 3x dx = [\frac{1}{3} \sin 3x]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{3} \sin \pi - \frac{1}{3} \sin 0 = \frac{1}{3} (0) - \frac{1}{3} (0) = 0$

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\cos x - \cos 3x) dx = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{4}$