$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$

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1. 問題の内容

以下の不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{(x-2)(x-3)}{x^3} dx$

(2) $\int \frac{(\sqrt{x}+1)^3}{x} dx$

(3) $\int (3x^2 - \frac{1}{x})^2 dx$

(4) $\int \frac{2x-3x^2}{\sqrt{x}} dx$

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2. 解き方の手順

**(1) $\int \frac{(x-2)(x-3)}{x^3} dx$**

1. 分子を展開します。

$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$

2. 分数を分解します。

$\frac{x^2 - 5x + 6}{x^3} = \frac{x^2}{x^3} - \frac{5x}{x^3} + \frac{6}{x^3} = \frac{1}{x} - \frac{5}{x^2} + \frac{6}{x^3}$

3. 各項を積分します。

$\int (\frac{1}{x} - \frac{5}{x^2} + \frac{6}{x^3}) dx = \int \frac{1}{x} dx - 5 \int x^{-2} dx + 6 \int x^{-3} dx$

$= \ln|x| - 5 \frac{x^{-1}}{-1} + 6 \frac{x^{-2}}{-2} + C = \ln|x| + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^2} + C$

**(2) $\int \frac{(\sqrt{x}+1)^3}{x} dx$**

1. 分子を展開します。

$(\sqrt{x}+1)^3 = (\sqrt{x})^3 + 3(\sqrt{x})^2(1) + 3(\sqrt{x})(1)^2 + (1)^3 = x\sqrt{x} + 3x + 3\sqrt{x} + 1$

2. 分数を分解します。

$\frac{x\sqrt{x} + 3x + 3\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{x\sqrt{x}}{x} + \frac{3x}{x} + \frac{3\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x} = \sqrt{x} + 3 + \frac{3}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}$

3. 各項を積分します。

$\int (\sqrt{x} + 3 + \frac{3}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}) dx = \int x^{1/2} dx + 3 \int dx + 3 \int x^{-1/2} dx + \int \frac{1}{x} dx$

$= \frac{x^{3/2}}{3/2} + 3x + 3 \frac{x^{1/2}}{1/2} + \ln|x| + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 6\sqrt{x} + \ln|x| + C$

**(3) $\int (3x^2 - \frac{1}{x})^2 dx$**

1. 展開します。

$(3x^2 - \frac{1}{x})^2 = (3x^2)^2 - 2(3x^2)(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = 9x^4 - 6x + \frac{1}{x^2}$

2. 各項を積分します。

$\int (9x^4 - 6x + \frac{1}{x^2}) dx = 9 \int x^4 dx - 6 \int x dx + \int x^{-2} dx$

$= 9 \frac{x^5}{5} - 6 \frac{x^2}{2} + \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{9}{5}x^5 - 3x^2 - \frac{1}{x} + C$

**(4) $\int \frac{2x-3x^2}{\sqrt{x}} dx$**

1. 分数を分解します。

$\frac{2x-3x^2}{\sqrt{x}} = \frac{2x}{\sqrt{x}} - \frac{3x^2}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} - 3x^{3/2}$

2. 各項を積分します。

$\int (2\sqrt{x} - 3x^{3/2}) dx = 2 \int x^{1/2} dx - 3 \int x^{3/2} dx$

$= 2 \frac{x^{3/2}}{3/2} - 3 \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{6}{5}x^{5/2} + C$

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3. 最終的な答え

(1) $\ln|x| + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^2} + C$

(2) $\frac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 6\sqrt{x} + \ln|x| + C$

(3) $\frac{9}{5}x^5 - 3x^2 - \frac{1}{x} + C$

(4) $\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{6}{5}x^{5/2} + C$