関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ があり、曲線 $y = f(x)$ を $C$ とする。点 $A(-1, 12)$ における曲線 $C$ の接線を $l$ とし、接線 $l$ と $x$ 軸の交点を $B$ とする。 (1) $f'(-1)$ の値を求めよ。また、接線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) 点 $(t, f(t))$ における曲線 $C$ の接線の方程式を $t$ を用いて表せ。また、点 $B$ を通る曲線 $C$ の接線のうち、接線 $l$ と異なる接線を $m$ とするとき、接線 $m$ の方程式を求めよ。 (3) (2)のとき、曲線 $C$ と接線 $l$ および接線 $m$ で囲まれた部分の面積を $S_1$ とする。$S_1$ を求めよ。また、点 $B$ を通り $y$ 軸と平行な直線を $n$ とし、曲線 $C$ と接線 $m$ の接点を $P$、点 $P$ を通り傾きが負の直線と直線 $n$ の交点を $Q$ とする。曲線 $C$ と線分 $PQ$ および直線 $n$ で囲まれた部分の面積を $S_2$ とするとき、$S_1 = S_2$ となる点 $Q$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ があり、曲線 $y = f(x)$ を $C$ とする。点 $A(-1, 12)$ における曲線 $C$ の接線を $l$ とし、接線 $l$ と $x$ 軸の交点を $B$ とする。

(1) $f'(-1)$ の値を求めよ。また、接線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 点 $(t, f(t))$ における曲線 $C$ の接線の方程式を $t$ を用いて表せ。また、点 $B$ を通る曲線 $C$ の接線のうち、接線 $l$ と異なる接線を $m$ とするとき、接線 $m$ の方程式を求めよ。

(3) (2)のとき、曲線 $C$ と接線 $l$ および接線 $m$ で囲まれた部分の面積を $S_1$ とする。$S_1$ を求めよ。また、点 $B$ を通り $y$ 軸と平行な直線を $n$ とし、曲線 $C$ と接線 $m$ の接点を $P$、点 $P$ を通り傾きが負の直線と直線 $n$ の交点を $Q$ とする。曲線 $C$ と線分 $PQ$ および直線 $n$ で囲まれた部分の面積を $S_2$ とするとき、$S_1 = S_2$ となる点 $Q$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f'(x)$ を求める。$f'(x) = 2x - 4$。よって、$f'(-1) = 2(-1) - 4 = -6$。

点 $A(-1, 12)$ における接線 $l$ の方程式は、$y - 12 = -6(x + 1)$ より、$y = -6x + 6$。

(2) 点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は、$y - (t^2 - 4t + 7) = (2t - 4)(x - t)$。

整理すると、$y = (2t - 4)x - t^2 + 7$。

点 $B$ は接線 $l$ と $x$ 軸の交点なので、$0 = -6x + 6$ より、$x = 1$。よって、$B(1, 0)$。

接線 $m$ は点 $B(1, 0)$ を通るので、$0 = (2t - 4)(1) - t^2 + 7$。整理すると、$t^2 - 2t - 3 = 0$。

$(t - 3)(t + 1) = 0$。$t = 3, -1$。$t = -1$ は接線 $l$ なので、$t = 3$。

よって、接線 $m$ の方程式は、$y = (2(3) - 4)x - 3^2 + 7 = 2x - 2$。

(3) 曲線 $C$ と接線 $l: y = -6x + 6$ の交点の $x$ 座標は $-1$。

曲線 $C$ と接線 $m: y = 2x - 2$ の交点の $x$ 座標は $3$。

$S_1 = \int_{-1}^{3} (x^2 - 4x + 7) - (-6x + 6) dx - \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 7) - (2x - 2) dx$

$S_1 = \int_{-1}^{3} (x^2 + 2x + 1) dx - \int_{1}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx = \int_{-1}^{3} (x + 1)^2 dx - \int_{1}^{3} (x - 3)^2 dx$

$S_1 = [\frac{1}{3}(x + 1)^3]_{-1}^{3} - [\frac{1}{3}(x - 3)^3]_{1}^{3} = \frac{1}{3}(4^3 - 0) - \frac{1}{3}(0 - (-2)^3) = \frac{64}{3} - \frac{8}{3} = \frac{56}{3}$

点 $B$ を通り $y$ 軸と平行な直線 $n$ は $x = 1$。接線 $m$ と曲線 $C$ の接点 $P$ は $(3, 4)$。

点 $P(3,4)$ を通り傾きが負の直線と直線 $n(x=1)$ の交点 $Q$ を $(1, q)$ とする。

直線 $PQ$ の傾きを $-a$ とすると、直線 $PQ$ の方程式は、$y - 4 = -a(x - 3)$。

$Q(1, q)$ を通るので、$q - 4 = -a(1 - 3) = 2a$。$q = 2a + 4$。

$S_2 = \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 7) - (-a(x-3) + 4) dx = \int_{1}^{3} (x^2 + (a - 4)x + (3a + 3)) dx$

$S_2 = [\frac{x^3}{3} + \frac{(a-4)x^2}{2} + (3a + 3)x]_1^3 = (\frac{27-1}{3} + \frac{(a-4)(9-1)}{2} + (3a + 3)(3-1)) = \frac{26}{3} + 4(a-4) + 6a + 6 = \frac{26}{3} + 10a - 10 = 10a - \frac{4}{3}$

$S_1 = S_2$ より、$\frac{56}{3} = 10a - \frac{4}{3}$。$10a = \frac{60}{3} = 20$。$a = 2$。

$q = 2a + 4 = 2(2) + 4 = 8$。

3. 最終的な答え

(1) $f'(-1) = -6$, 接線 $l$ の方程式は $y = -6x + 6$

(2) 点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は $y = (2t - 4)x - t^2 + 7$, 接線 $m$ の方程式は $y = 2x - 2$

(3) $S_1 = \frac{56}{3}$, 点 $Q$ の座標は $(1, 8)$