以下の8つの2階線形同次微分方程式の一般解を求めます。 (1) $\frac{d^2x}{dt^2} - 6\frac{dx}{dt} + 8x = 0$ (2) $\frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} = 0$ (3) $\frac{d^2x}{dt^2} - 6\frac{dx}{dt} + 9x = 0$ (4) $\frac{d^2x}{dt^2} + 3x = 0$ (5) $\frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} - 2x = 0$ (6) $\frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} + x = 0$ (7) $\frac{d^2x}{dt^2} - 2\frac{dx}{dt} - 4x = 0$ (8) $\frac{d^2x}{dt^2} - 8\frac{dx}{dt} + 16x = 0$

はい、承知いたしました。それでは、示された8つの微分方程式について、順に一般解を求めます。

1. 問題の内容

以下の8つの2階線形同次微分方程式の一般解を求めます。

(1) $\frac{d^2x}{dt^2} - 6\frac{dx}{dt} + 8x = 0$

(2) $\frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} = 0$

(3) $\frac{d^2x}{dt^2} - 6\frac{dx}{dt} + 9x = 0$

(4) $\frac{d^2x}{dt^2} + 3x = 0$

(5) $\frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} - 2x = 0$

(6) $\frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} + x = 0$

(7) $\frac{d^2x}{dt^2} - 2\frac{dx}{dt} - 4x = 0$

(8) $\frac{d^2x}{dt^2} - 8\frac{dx}{dt} + 16x = 0$

2. 解き方の手順

これらの微分方程式はすべて定数係数の2階線形同次微分方程式です。一般的に、これらの微分方程式は特性方程式を解くことによって解かれます。

特性方程式とは、微分方程式の各導関数を $r$ のべき乗に置き換えて得られる代数方程式です。たとえば、微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} + a\frac{dx}{dt} + bx = 0$ の特性方程式は $r^2 + ar + b = 0$ となります。

特性方程式の解 $r_1$ と $r_2$ に応じて、微分方程式の一般解は次のいずれかの形式になります。

* $r_1 \neq r_2$ の場合: $x(t) = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t}$

* $r_1 = r_2 = r$ の場合: $x(t) = (C_1 + C_2t)e^{rt}$

* $r = \alpha \pm i\beta$ (複素数解) の場合: $x(t) = e^{\alpha t}(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t))$

ここで、$C_1$ と $C_2$ は任意定数です。

では、上記の手順に沿って、各微分方程式の一般解を求めます。

(1) $\frac{d^2x}{dt^2} - 6\frac{dx}{dt} + 8x = 0$

特性方程式: $r^2 - 6r + 8 = 0$

解: $(r - 2)(r - 4) = 0$ より、$r_1 = 2$, $r_2 = 4$

一般解: $x(t) = C_1e^{2t} + C_2e^{4t}$

(2) $\frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} = 0$

特性方程式: $r^2 + 3r = 0$

解: $r(r + 3) = 0$ より、$r_1 = 0$, $r_2 = -3$

一般解: $x(t) = C_1 + C_2e^{-3t}$

(3) $\frac{d^2x}{dt^2} - 6\frac{dx}{dt} + 9x = 0$

特性方程式: $r^2 - 6r + 9 = 0$

解: $(r - 3)^2 = 0$ より、$r_1 = r_2 = 3$

一般解: $x(t) = (C_1 + C_2t)e^{3t}$

(4) $\frac{d^2x}{dt^2} + 3x = 0$

特性方程式: $r^2 + 3 = 0$

解: $r = \pm i\sqrt{3}$

一般解: $x(t) = C_1\cos(\sqrt{3}t) + C_2\sin(\sqrt{3}t)$

(5) $\frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} - 2x = 0$

特性方程式: $r^2 - r - 2 = 0$

解: $(r - 2)(r + 1) = 0$ より、$r_1 = 2$, $r_2 = -1$

一般解: $x(t) = C_1e^{2t} + C_2e^{-t}$

(6) $\frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} + x = 0$

特性方程式: $r^2 + 3r + 1 = 0$

解: $r = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

一般解: $x(t) = C_1e^{\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}t} + C_2e^{\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}t}$

(7) $\frac{d^2x}{dt^2} - 2\frac{dx}{dt} - 4x = 0$

特性方程式: $r^2 - 2r - 4 = 0$

解: $r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

一般解: $x(t) = C_1e^{(1 + \sqrt{5})t} + C_2e^{(1 - \sqrt{5})t}$

(8) $\frac{d^2x}{dt^2} - 8\frac{dx}{dt} + 16x = 0$

特性方程式: $r^2 - 8r + 16 = 0$

解: $(r - 4)^2 = 0$ より、$r_1 = r_2 = 4$

一般解: $x(t) = (C_1 + C_2t)e^{4t}$

3. 最終的な答え

(1) $x(t) = C_1e^{2t} + C_2e^{4t}$

(2) $x(t) = C_1 + C_2e^{-3t}$

(3) $x(t) = (C_1 + C_2t)e^{3t}$

(4) $x(t) = C_1\cos(\sqrt{3}t) + C_2\sin(\sqrt{3}t)$

(5) $x(t) = C_1e^{2t} + C_2e^{-t}$

(6) $x(t) = C_1e^{\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}t} + C_2e^{\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}t}$

(7) $x(t) = C_1e^{(1 + \sqrt{5})t} + C_2e^{(1 - \sqrt{5})t}$

(8) $x(t) = (C_1 + C_2t)e^{4t}$