関数 $f(x) = \int_{1}^{x} |t(t-2)| dt$ が与えられている。このとき、$f(3)$ の値を求め、$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2-1} f(x)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \int_{1}^{x} |t(t-2)| dt$ が与えられている。このとき、$f(3)$ の値を求め、$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2-1} f(x)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(3)$ を計算する。

$f(3) = \int_{1}^{3} |t(t-2)| dt$

積分範囲を $1 \leq t \leq 3$ で考える。$t(t-2)$ の符号は $t$ の範囲によって変わる。

$1 \leq t \leq 2$ のとき、$t-2 \leq 0$ なので $|t(t-2)| = -t(t-2) = -t^2 + 2t$

$2 \leq t \leq 3$ のとき、$t-2 \geq 0$ なので $|t(t-2)| = t(t-2) = t^2 - 2t$

したがって、積分を分割して計算する。

$f(3) = \int_{1}^{2} (-t^2 + 2t) dt + \int_{2}^{3} (t^2 - 2t) dt$

$\int_{1}^{2} (-t^2 + 2t) dt = [-\frac{1}{3}t^3 + t^2]_{1}^{2} = (-\frac{8}{3} + 4) - (-\frac{1}{3} + 1) = -\frac{8}{3} + 4 + \frac{1}{3} - 1 = 3 - \frac{7}{3} = \frac{2}{3}$

$\int_{2}^{3} (t^2 - 2t) dt = [\frac{1}{3}t^3 - t^2]_{2}^{3} = (\frac{27}{3} - 9) - (\frac{8}{3} - 4) = (9 - 9) - (\frac{8}{3} - 4) = 0 - \frac{8}{3} + 4 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

$f(3) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$

次に、$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2-1} f(x)$ を計算する。

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2-1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2-1} = \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{(x-1)(x+1)}$

ここで、$f(x) = \int_{1}^{x} |t(t-2)| dt$ であり、$f(1) = 0$ なので、ロピタルの定理を使うことができる。

$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{2x}$

$f'(x) = |x(x-2)|$ なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{|x(x-2)|}{2x} = \frac{|1(1-2)|}{2 \cdot 1} = \frac{|-1|}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$f(3) = 2$

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2-1} f(x) = \frac{1}{2}$